数学问题 (3-2)

3.如果有可能，我们希望它是位置序数的单变量函数。

我用的是“如果有可能”，这说明，我们一般不太可能每条都具备。条件1是说，它是初等的，这个包括微积分运算，如果是积分最好是黎曼的，即便是勒贝格的，我们也希望它的分析简单一些。当然，最理想的就是多项式的，F【26】就是这样的。因此，条件1它达标了。

条件2是说，它是精确的，意思是，我们不希望得到一个范围值，像求小于某个自然数的所有素数的个数那种间接的探寻方式，我们期望得到的结果就是某个素数。一旦得到的是范围值，那么对范围内的二次分析会带来新的问题。F【26】也满足条件2。

条件3是说，我们希望它是单变量的函数，而且是位置序数的函数，什么是位置序数？我们知道自然数集合是可数集合，可数集合的任何无穷子集都是可数的。欧几里得早就证明了全体素数是无穷的，因此全体素数是可数的，这意味它和全体自然数是一一对应的，那么用函数f:N→S实现这个一一对应【S是全体素数的集合】，就是条件3想要的。这是最理想的、最完美的素数公式！它表明你只要输入相应的自然数，那么与之对应的那个素数就通过f找到了，每个自然数就是该素数在素数集合的“位置序数”。

很多数学家都向这个模式努力过，著名的费马数［2＾(2＾n)］+1和欧拉的结果n²-79n+1601，后者强到能从1到79全是素数，真好奇道欧拉是怎么发现的，强者如斯，不愧是欧拉。F【26】不满足条件3。

对于F【26】，它的模式如下(k+2){1-M}——斯图尔特称该公式后面那么一大串多项式为怪物M。我们跟随他的记号。F【26】的性质一是：它的正数值的集合就是素数集！因此你要对26变量进行分配，让它们取某个自然数。那么你怎么判断得到结果是不是素数呢？其实我们有下面的一个明显的“矛盾”：

(k+2){1-M}显然是两个整数的积，但是素数的因数分解只有1和自己，你怎么保证当F【26】大于0时，它一定是个素数？

F【26】第二个性质就是：F【26】=(k+2){1-M}=素数，当且仅当M=0。这是它的发明者证明的定理。我们用它来解除“悖论”。

观察M，它虽然那么长，但其实是好几个整数的平方和。因此M≥0。又因为(k+2){1-M}为正，当且仅当{1-M}＞0，两者结合M只能等于0。用性质二，M=0时，F【26】=(k+2)，它是素数，这样它就是不是两个表达式的积了。

结束：这个公式能生成全体的素数是毫无疑问的，它确实是素数的通项公式，唯二的遗憾：它不是位置序数的单变量函数；这个多项式作为函数，其像集也不只是素数集，它只是全体正值的集合对应全体素数【这个其实可以不算遗憾，只是我们吹毛求疵了】。你要赋予这26个变量各种值，然后检查M是否为0，这不是什么简单的工作。我自己只算过一个赋值，就是变量都为0的情况，{1-M}=-9414，M不为0。你要愿意，可以自己赋值，看看怎么搭配能得到一个素数。

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