（数学）七 (2-1)

数的本质

数是计量工具，本质上是以符号形式对现实世界的抽象认知，为适应人们在生产生活和探索自然与社会的计量需求中逐渐产生、完善。本章介绍了精度、数的本质等概念并举例分析，便于深入理解。

精度是反映测量结果与真值接近程度的量。它与误差成反比，可用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。测量值是相对值，真值是绝对值。当测量一个物理量时，比如长度，所测得的结果总是需要由两部分组成：一部分是准确值，一部分是误差。所以表示一个真值的方式是：真值=测量值+误差。即一个真值是由一个确定的部分（测量值/相对值）加一个不确定的部分（测量工具或测量方式所引起的误差）组成的。

在确定真值时还需要明确相对真假的概念，即：精度高的测量方式测出来的结果，相对于精度低的测量方式测量出的结果更真。用精度低的测量方式无法判断精度高的测量方式测量出来的结果的真假，反之则可以。比如，用一个精度为0.01米的尺子测量两个长度，精确部分分别为0.21米和0.25米，而用精度为0.1米的尺子再次测量，其精确部分均为0.2米。若使用精度低的测量方式，这两个长度是一样的，而使用精度高的测量方式，这两个长度是不一样的。测量的结果是否相等，取决于测量工具的精度。

那么数的本质是什么呢？

以实数为例，在数轴上，数是由有理数和无理数组成的，除有理数与无理数之外，其实数轴上的数应该还加一个数，这个数是一个概念，其既不是有理数也不是无理数，这个数是无穷。无穷既是一个数，因为可以参与数的运算，得出正确的结果，但其又不是一个数，因为不知道它具体是多少。所以数轴上的数，可以分为三种：有理数、无理数、无穷，接下来分别讨论这三种数的性质：

关于无穷和无理数，比较容易看到其不确定的性质或者不可知的性质；

关于有理数，比较容易看到其确定的性质或者可知的性质。

但无穷与无理数除了不可知的性质，亦包含了可知的性质，有理数除了可知的性质，其亦包含了不可知的性质。

因无理数和无穷无法精确知道其大小，用代号表示，如∞、√2、e、π等，如果一定要用有理数精确表达无理数，则只能是用有理数加一个误差来表示，如：

π=3.14±0.01，π=3.141±0.001，π=3.1415±0.0001，……

对于无穷，可以表示为任意一个数加无穷，无穷即是误差。即：

∞=1+∞，∞=100+∞，∞=12314+∞，……

以上为无理数与无穷的不可知的一面。

无理数与无穷除了不可知的性质以外，其亦有可知的性质。以π为例，π为一个圆的周长与直径的比值，不论这个圆是多大，还是多小，圆与直径的比值都是一个固定值，而不是变来变去，所以π包含其不变的性质。这种不变的性质是一定的，所以无理数虽然不可知，但其是存在的亦是固定不变的。

有理数与无理数及无穷相比，大多数情况看到的是关于有理数确定的部分或者可知的一面，一般认为，有理数都是可知的数，不仅能够精确表达出来，而且能够精确知道是多少。但事实上有理数亦有其不可知的一面。

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