幂级数环

【artin代数_第二版_11.2.2】 F 是域， p(t)＝α₀＋α₁t＋α₂t²＋. . . 是形式化的幂级数（formal power series）（不要求收敛），这些形式化的幂级数的集合记为 F[[t]] ，证明 F[[t]] 是环。

pf：证明F[[t]] 是环的方法可以参考多项式环 F[t] 的证明，形式化的幂级数和形式化的多项式区别在于形式化幂级数可以有无穷多项，这点对证明没有影响。

【artin代数_第二版_11.2.2】找出环 F[[t]] 的可逆元 （units）。

sol：环F[[t]] 的可逆元是所有 α₀ ≠ 0 的 p(t) ，这点不同于多项式环 F[t] （units 为 f(t)＝α，α ≠ 0 ）。形式化幂级数求逆元的过程就是“向后推”然后“抵消”，因为是无穷多项所以可以做到。

【artin代数_第二版_11.3.10】找出环 F[[t]] 的理想（ideal）。

sol: 假设l 是环 F[[t]] 的理想，每个 p(t) ∈ l 有最低次项，这个最低次数记为 mₚ ，例如 p(t)＝3t＋15t³ ，它的最低此项是 3t ，所以 mₚ＝1 ， l 中所有非零 p(t) 最低次数的最小值记为 m ，现在claim l＝(tᵐ) 。

因为m 是所有非零 p(t) ∈ l 包含项的最低次，所以 p(t)＝αₘtᵐ＋αₘ₊₁tᵐ⁺¹＋. . .＝tᵐ(αₘ＋αₘ₊₁t＋. . .)，括号中的部分是环 F[[t]] 中的元素，所以 l ⊂ (tᵐ) 。

假设q(t) ∈ l包含这个最低项 m 次项， 那么

q(t)＝αₘtᵐ＋αₘ₊₁tᵐ⁺¹＋. . .＝tᵐ(αₘ＋αₘ₊₁t＋. . .)，αₘ ≠ 0，这里 αₘ＋αₘ₊₁t＋. . . 是 F[[t]] 的可逆元，所以 tᵐ＝tᵐ(αₘ＋αₘ₊₁t＋. . . ) ((αₘ＋αₘ₊₁t＋. . .)的逆) ∈ l，所以(tᵐ) ⊂ l。

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