多项式环的理想

【artin代数_第二版_11.3.11】 R 是环， l 是多项式环 R[x] 的理想，它包含的所有非零元素的阶的最小值为 n，证明或反驳（prove or disprove）: l 是主理想 ⇔ l 包含 n 阶首一多项式。

proof of⇐ ： p(t)＝tⁿ＋rₙ₋₁tⁿ⁻¹＋. . .rₒ ∈ l ，那么显然 (p(t)) ⊂ l ; 所有 α(t) ∈ l 都可以通过除法表示为 α(t)＝p(t)q(t)＋r(t) , 且 r(t) ∈ l ，所以 r(t)＝0 ，所以 l ⊂ (p(t)) 。

⇐ ⇒

counterexample of⇒ : R＝Z/4 ， l＝(2x) ，那么 x∉l 。

F 是域，多项式环 F[x] 的理想 l 都是主理想，可以由 l 中最低阶非零多项式生成，若这个最低阶多项式是首一多项式（monomial）,则它是唯一的。

pf：假设p(t) 是 l 中最低阶多项式，那么 (p(t)) ⊂ l，而所有 α(t) ∈ l 都可以通过除法表示为 α(t)＝p(t)q(t)＋r(t) , 且 r(t) ∈ l，所以 r(t)＝0 ，所以 l ⊂ (p(t)) 。这里 F[x] 和 R[x] 的区别就是非首一多项式 p(t) 也可以做除法，所以 F[x] 的理想可以这么简单。

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