数学 (2-2)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

回到 SO(3), 存在a,b 是 SO(3) 的元素, 使得 ＜a,b＞ 是SO(3) 的子群. 这个性质是一个不是很容易证明的性质. 但是 SO(2) 是一个可交换群, 意味着所有的子群都是可交换群, 意味着所有的子群都不是自由群, 所以对于 SO(2) 上面的讨论是没用的.

三维的球面是一个集合, SO(3) 可以作用在这个集合上, 就是我们理解的旋转, ＜a,b＞ 子群就也可以作用在这个集合上, 考虑一个等价关系, 如果 x,y 是球面的点, x,y 等价意味着 存在一个元素 g 在 ＜a,b＞ 里使得 x=g(y), 这里面 g(y) 表示 y 经过由g定义的一些列旋转之后的球上的点. 可以看出来, 这是一个等价关系, 也就是说, 这个等价关系规定了球面的一个划分, 由选择公理, 从每一个划分的子集里面选一个元素, 这些元素组成集合 E

(a)=F(a)E

(b)=F(b)E

(a')=F(a')E

(b')=F(b')E

E

这五个子集的并集是整个球面,这五个子集是没有交集的然后我们这些子集做一个修改,把 E 集合并到 (a) 里面 构成一个新的(a)然后 观察 a( (a') ) ,这个集合 = (a')+(b)+(b') , 然后并入 (a) 得到 一个球面然后观察 b( (b') ) , 这个集合= (b')+(a)+(a') , 然后并入 (b) 得到一个球面所以 我们把一个球面分成了 4 份, 互不相交, 其中两份可以旋转, 就是 (a') 通过 a 旋转, (b') 通过b 旋转,到这里, 我们已经可以得到两个球面了, 如果你想要得到两个不相交的球面的话在经过一些平移操作就行了,到这里, 如果你想得到球体的话, 那就对球体分割成球面, 每个球面都可以有上述分割, 由于旋转操作实际上跟半径什么的不相关, 上述操作后可以得到两个球体.

到这里, 我们可以找到生成元更多的SO(3)的自由子集, 经过相似的操作之后我们可以得到更多的球面, 或者球体.

到这里, 我们可以找到 SO(n) n＞2 群的自由子群, 上述操作可以得到 n维 n大于二 球面或者球体的分割使得经过一些旋转之后得到多个球面或者球体.

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。