芝诺悖论详解（一） (6-5)

欧几里得在他的不朽名著 《几何原本》的开篇即提出了 23 个定义、5 个公设和 5 个公理，这些基本规定奠定了整个平面几何学的理论基础，对直线或是曲线 (如运动轨迹) 的数学分析因而有了根本的出发点。《几何原本》的第一个定义———也是整个欧氏几何学的基础———就是后世的学者们似乎可以言说却又无法言说的“点”: “点是没有部分的。”这个概念很含糊，但我们依然可以推断出 “点”具有无穷小的特征，小到无法分割，是一个只有位置、没有大小的图形; 现代数学倾向于把点看作零维度对象，可以表示为一个有序 n 元组。因此，欧氏几何学中的 “点”是一种表示位置的没有空间广延的非实体的数学抽象。

回到悖论 1， “有无限多个点可取”是基于有限线段的无限可分，即无论多么短的线段都包含无限多个点，把 “点”看作非实体的数学抽象; “所要取的点一定取得到”中的 “点”的内涵已经悄悄变成有广延的实体点，因为当我们不需要确定一个点的位置，只需要知道 “线由点组成”时，我们尽可以将线无限分割，即便我们现实中做不到，在思维抽象中也可以推理完成; 而一旦需要确定一段实际线段上的某个点的位置时，我们实际迈步站在了一个新的思维基础上: 线段有限可分。假设一段线段一共有五个点，那么，中点一定是第三个点; 一段线段共有七个点，中点即是第四个点，如果一段线段有无限多个点，中点如何确定? 就像一个队列排了无限多个人，如何确定 “谁”两边的人一样多? 我们确定时空 “位置”的思维基础其实是 “相对”和 “有限”， “相对”意味着要找到参照系或者参照物，“有限”则意味着这个 “点”在参照系中或者距离参照物可以用多少个 “单位”来表示，这个 “单位”一定是有限的。就像我们用太阳作为参照物确定地球的位置时，我们要弄清的是地球距离太阳有多少个 “单位”，这个 “单位”可以是千米，也可以是米，这个时候说地球到太阳之间有无限多个点是没有意义的。

因此，“能够取到中点”的思维先验假定其实是 “线段包含有限多个点”。这就是说，如果假定时空连续，一段空间距离会有无限多个点，如果不将 “点”的内涵由数学抽象的 “非 实 体 点” 转 换 为 有 空 间 广 延 的 “实 体点”，那么，芝诺在这段距离上取中点是无法实现的。由此，还会衍生出其他一些问题: 现实距离的 “有限可分”与运动物体轨迹数学分析上的 “无限可分” 之间的矛盾是不可调和的吗?是 “理想线段的无限可分”无法实现，还是从“理想线段的无限可分”到 “现实距离的位置可取”无法实现?哲学的进步不仅在于从人类愈加丰富的理论与实践中发现那些带有矛盾性的疑点，还在于对那些闪烁着不朽的智慧之光的历史疑点给出新的视角。人们对于芝诺悖论的思考虽然至今仍无定论，但这些思考得到的收获却硕果累累。超越时代的论辩被后人一再提起也许预示着它所引发的思考并不会止于后来者的 “成功”解答; 相反，它像一座宝藏，吸引着人们从不同方向深入其中

细心挖掘，找到前人不曾发现的奇珍，找到各自的意义与价值所在。

［参 考 文 献］

［1］［古希腊］欧几里得． 几何原本［M］． 兰纪正，朱恩宽，译． 西安:陕西科学技术出版社，2003.

［2］［法］罗素． 西方哲学史［M］． 北京:商务印书馆，1976．

［3］北京大学哲学系． 西方哲学原著选读［M］． 北京:商务印书馆，1981．

［4］Apostle H G． Aristotle’s Philosophy of Mathematics［M］． Chicago: University of Chicago Press，1952．

［5］吴国盛． 芝诺悖论今昔谈［J］． 哲学动态，1992(12)．

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