逻辑与直觉 (2-1)

数学/科学创造历来带有某种程度的神秘色彩；法国数学家庞加莱的系统性研究结果的出现在一定程度上揭示了创造过程的本质。庞加莱用潜意识（创造/选择）、科学美感知（筛选准则或依据）、直觉（推理方式）等概念表述创造的特征[1]。阿达玛以庞加莱的研究结果为基础，系统论述了数学领域的创造心理学原理[2]。

关于数学创造所依赖的推理方式存在着两个观点截然不同的学派，以庞加莱为代表的康德学派和以罗素、希尔伯特为代表的逻辑主义学派[3]。庞加莱认为对创造起决定性作用的是直觉，罗素和希尔伯特则认为导致创造的是逻辑，不过可看作是一种新的逻辑，这种观点可追溯至莱布尼兹。对待逻辑主义庞加莱毫不掩饰他内心的反对态度，在其论文Intuition and logic in mathematics[4]中，庞加莱认为逻辑主义者所认为的新逻辑本质是纯直觉（pure intuition）。隐含的观点是逻辑主义者可能对自己的思维方式缺少更加细致和本质的认识。无论庞加莱式的直觉主义还是罗素式的逻辑主义，似乎在一点上是一致的：以从特殊到一般或者从有限到无限为特征的归纳是产生新的数学认识的方式。从一般到特殊的演绎对数学创造没有本质贡献。在一些后来的研究中对直觉有了更近一步的认知和解释[3]，直觉的作用似乎是建立某种数学结构或体系（mathematical architecture)，而不是通常的三元式（three syllogisms)逻辑推理。

在对数学的哲学认识上，主要有存在主义（比如康托尔）和构造主义（比如克罗内克）[5]。存在主义认为数学不是人类思维的产物，而是独立于人类的思维存在，数学只是通过人的思维被人类发现。构造主义则认为数学是彻底的人的思维的产物，否认独立的数学世界的存在。比如克罗内克认为任何一个数学存在在没有明确构造出来之前没有任何意义，他对康托尔关于实数空间的存在性证明的犀利攻击是众所周知的。贝尔在《数学大师》[5]中把存在主义和构造主义的对立对比于基督信仰中坚信“父存在”（God exists）和要求父显身的对立。

纵观科学和数学史，科学/数学定律所在的空间可能同康托尔意义下的实数空间一样，其元素是不可列的（我们知道无理数比有理数多得多），因此单靠逻辑（可列个运算过程）是无法实现创造的。只有在逻辑（庞加莱强调这个逻辑推理是自愿的才有效[1]）的基础上依赖敏锐的直觉思维和较高（甚至严苛）的审美标准（对于大部分思维主体）才有可能促成科学/技术创造或者数学创造。从另一个层次说，科学定律既然是不可列的，那么科学研究必然是永无止境的。对于这一点，埃尔米特给出了他的看法：“we are rather servants than masters in mathematics” [2]。

参考文献：

[1] Henri Poincare, Mathematical Creation, THE MONIST, Jul. 1910 (translated from French by George Bruce Halsted).

[2] Jacques Hadamard, The psychology of invention in the mathematical field, Dover Publications, Inc., 1954.

[3] Michael Detlefsen, Poincare vs. Russell on the Role of Logic in Mathematics, Philosophia Mathematica, 1(1): 24-49,1993.

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