反函数定理和隐函数定理 (2-2)

限制下，求函数f(x)＝f(y，z)的极值。对于这个条件极值问题，它的朗格朗日函数为

L(x，λ)＝L(y，z，λ)＝f(y，z)＋λᵀφ(y，z) (26)

其中λ＝(λ₁，· · ·，λₘ)ᵀ 为朗格朗日乘数向量‬

定理 23.19 ：对以上所设的函数 f，φ 若满足条件

(i)f，φ在 D 内有连续导数

(ii)φ(x₀)＝φ(y₀，z₀)＝0

(iii)rank φ'(x₀)＝rank [φ'y(y₀，z₀)，φ'ᴢ(y₀，z₀)]＝m

(iv)x₀＝(y₀，z₀)是 f 在条件 (25) 下的条件极值点‬

则存在∧₀∈ℝᵐ ，使得 (x₀，∧₀) 是 (26) 式所设函数 L 的稳定点，即满足

L'(x₀，∧₀)＝[Lₓ(x₀，∧₀)＋Lλ(x₀，∧₀)]＝0 (27)

但因Lλ(x₀，∧₀)＝[φ(x₀)]ᵀ＝0 ，故 (27) 式等同于

Lₓ(x₀，∧₀)＝f'(x₀)＋∧₀ᵀφ'(x₀)＝0 (28)

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