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格林函数法 (3-1)

众所周知,偏微分方程以其高维度、复杂性,一直令众多科研人员十分的烦恼。近代随着计算机的快速发展,众多诸如差分法、有限元法等数值方法的涌现使得求解复杂的微分方程变得简单。但是在计算机未得到的普及之前,聪明的数学家、物理学家们是如何求解偏微分方程的呢?本文就将基于天才数学家乔治·格林提出的格林公式介绍偏微分方程的一种解析求法——格林函数法。

1 引言

格林函数法是一种求解数学物理方程的方法,其基本思想是利用点源产生的场(即格林函数)和叠加原理来求解任意源的场。格林函数又称为源函数或影响函数,是英国人乔治·格林于1828年引入的。这种方法在物理学中尤其重要,因为物理现象通常可以用场论来描述,而场论的基础就是数学物理方程。格林函数法既可以求解齐次方程也可以求解非齐次方程,既可以求解无界区域的定解问题也可以计算有界区域的定解问题。具体步骤如下:首先,保持偏微分方程的形式不变,用一个δ函数代替偏微分方程的非齐次项,用格林函数代替原来的场;然后,根据边界条件和初始条件的不同,选用行波法、积分变换法或者分离变量法等方法求解格林函数;最后,利用格林第二公式,结合计算得到的格林函数,即可得到原偏微分方程的解。

2 格林公式及其应用

2.1 格林公式

本节中不加证明的引入第一格林公式,如下式(1)所示,式中u、v为任意函数,交换其顺序可得到式(2):

∂υ

∭(u∇²υ)dV=∬u ── dS – ∭(∇u · ∇υ)dV

Ω Γ ∂n Ω

(1)

∂υ

∭(υ∇²u)dV=∬υ ── dS – ∭(∇υ · ∇u)dV

Ω Γ ∂n Ω

(2)

将式(1)和式(2)相减并整理得:

∂υ ∂u

∭(u∇²υ – υ∇²u)dV=∬(u ── – ──)dS

Ω Γ ∂n ∂n

(3)

此式即为第二格林公式,简称格林公式。它清晰的显示了函数u、v在封闭曲面上的面积分与在区域中的体积分之间的关系。下面我们就应用该公式给出泊松方程的格林函数解法。

2.2 格林公式的应用-格林函数法

首先利用格林公式,针对泊松方程简要介绍格林函数法。我们知道泊松方程具有如下(4)的形式:

∇²u(r)=–f(r) (4)

为了解决此问题我们引入函数G(r – r₀) ,该函数即格林函数,表达式如下:

∇²G(r – r₀)=–δ(r – r₀) (5)

式中r₀ 为区域 Ω 内任意一点,根据δ函数的定义可知,G(r – r₀) 为在 r₀ 处的点源所产生的场。

利用格林公式(3),并将v(r)修改为格林函数 G(r – r₀),则可以推导得到:

∂G ∂u

∬(u ── – G ──)dS=∭(u∇²G – G∇²u)dV

Γ ∂n ∂n Ω

=∭(–uδ(r – r₀) – G∇²u)dV

Ω

=–u(r₀) – ∭G∇²udV

Ω

=–u(r₀)+∭Gf(r)dV

Ω

(6)

整理得:

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