公理化的集合论与罗素悖论的排除 (3-3)

证：设公理8成立，设P(x)为对于任意对象x，P(x)为真，则存在集合{x|P(x) } ，对于任意的对象x，P(x)都为真，所以 对于任意的对象x，x∈{x|P(x) } ，这个集合就是万有集合。

设万有集合O存在，设P(x)为某一关于x的性质，由分离公理，集合{x∈Ο|P(x) } 存在，它满足对任意对象y，

y∈{x∈Ο|P(x) } ⇔ y∈Ο P(y)

那么公理8成立。

所以只要我们能排除万有集合O的存在，就能排除这两种导致罗素悖论的集合。

我们来通过公理1和正则公理和分离公理和公理2和单元素公理来排除万有集合的存在

结论3、如果A是一个集合，那么A∉A .

证：由公理1，因为A是一个集合，则A是一个对象，那么由单元素公理，集合{A} 存在，使得对任意的对象y，

y∈{A} ⇔ y＝A。

因为{A} 只有一个元素A，且A是一个集合，由正则公理： A∩{A}＝∅

那么A∉A（否则 A∈A A∈{A}，那么 A∈A∩{A}＝∅ 而这与空集的定义矛盾）

结论4、在公理1、公理2、公理3、公理5、公理6、公理9下万有集合不存在

下面我们来排除万有集合的存在。

设万有集合O存在，即对于任意的对象y，y∈Ο

因为万有集合O是一个集合，那么由公理1，万有集合O也是一个对象

那么Ο∈Ο，这与结论3矛盾，因此万有集合不存在。

因此我们排除了那两种导致罗素悖论的集合的存在。

参考书籍：《陶哲轩实分析》陶哲轩 著 李馨 译 人民邮电出版社‬

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