公理化的集合论与罗素悖论的排除 (3-2)

A∩B：＝{x∈A|x∈B}

A \ B：＝{x∈A|x∉B}

可以证明 集合上的∪运算、∩运算、\运算、和集合X（X是以集合A、B、C为其子集的集合）构成布尔代数，也就是我们经常见的集合的运算律。

再引入替代公理，它可以帮助我们从一个集合做好像是函数运算一样的东西到另一个集合。

公理6、替代公理

设A是一个集合，对于任意的x属于A和任意一个对象y，假设存在一个这样的关于x和y的命题P(x,y)它满足对任意给定的x属于A，最多能找到一个对象y使得P(x,y)为真，那么存在一个集合

{y|P(x，y) x∈A }。

实际上，替代公理蕴涵了分离公理，但是用分离公理来构造这些运算显得更简单，所以Tao还是引入了分离公理，他也在习题里提供思路证明了这一点。

自然地，现在还缺少自然数这个集合（虽然也可以用纯粹集合论的概念来定义自然数，不过那样看起来繁琐）

公理7、无穷大

存在一个集合N，它的元素被称为自然数。他满足对象0在N中，且由每个自然数n∈ℵ 所指定的满足皮亚诺公理的对象 n＋＋ 也在N中。

我们先引入能够避免罗素悖论的公理。

公理9、正则公理‬

如果A是一个非空集合，那么A中至少存在一个元素x，它满足：要么x不是集合，要么x∩A＝∅ 。

直观来看它看起来好像规定了是集合的一堆无序对象要满足的条件。

假设我们引入万有分类公理，即

公理8、万有分类公理

假设对于任意的对象x，存在关于x的性质P(x),那么存在一个集合{x：P(x)为真}，使得对任意的对象y，

y∈{x：P(x) } ⇔ P(y)

实际上这个公理是非常好的，它可以推导出公理2、公理3、公理4、公理5、公理6、公理7（如果假设所有自然数都是对象），但是它却会导致一个逻辑上的矛盾，即罗素悖论。

令P(x)表示这样一个性质：

P(x) ⇔ “x x∉x”

确实有这样的集合，比如P({2,3,4})为真，因为{2,3,4}是以2 3 4为元素的集合，{2,3,4}确实不是集合{2,3,4}的元素，即{2，3，4} ∉ {2，3，4}，那么利用公理8构造这样一个集合

Ω＝{x：P(x) }＝{x：x x∉x}，

即所有不包含自身的集合构成的集合，命题 Ω∈Ω 的真假性如何？

假如Ω∈Ω 为真，那么 Ω 是一个集合且 Ω∉Ω ，矛盾

假如Ω∉Ω 为真，那么 Ω 是一个集合且 Ω∉Ω ，那么 Ω∈Ω ，矛盾

无论哪种情况，我们都同时得到了Ω∈Ω 和 Ω∉Ω 都为真，这是离奇的，因为我们的逻辑认为一个命题要么为真要么为假，不存在一个命题同时既为真又为假的情况。

我们还可以这样构造罗素悖论的集合

设Ο 是一个万有集合，即

x，x∈Ο

那么根据分离公理，

{x∈Ο|x x∉x}是一个集合，它同样导致罗素悖论。

如果我们可以排除公理8，或者我们可以排除万有集合的存在，那么我们就可以排除这俩情况构造出的导致罗素悖论的集合，巧合的是，万有集合的存在当且仅当公理8成立。

结论2、

Ο ⇔

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