连续统假设CH独立于ZFC公理体系？

不过核心意思倒是很清楚：一个良定义的数学命题应当是非真即假的。那么恭喜题主，你是一个数学柏拉图主义者。当然，题主不一定会承认数学实体本体论意义的存在，不过根据达米特的分析，在一个论题上采取二值逻辑的态度，就隐含着支持该领域的实在论理论。

那么首先第一点，如果从非柏拉图主义（比如直觉主义、构造主义）的角度来看，数学命题可能并不是非真即假的；但是即使不考虑数学哲学的问题，CH独立于ZFC也是一个表述清楚，并且得到证明的真命题。

这里的关键是，什么是“集合”？你不能简单地说“对任意一个集合A”如何如何，毕竟，凭什么说A是一个集合呢？如果我们工作在ZFC环境中，或者说，我们认为ZFC就完全地刻画了“集合”这个概念，那么，任何一个满足全部ZFC十三条公理（或公理模式）的模型，我们都可以把它看做集合的模型。所以当你说“对任意一个集合A……”，实际上说的是“对任意一个满足ZFC的模型的元素A……”

问题是，满足ZFC的公理的模型是否（在同构意义上）是唯一的呢？很遗憾并非如此，这些模型甚至不是初等等价的，也就是说，对于某些一阶命题p，在模型M满足p，模型N上就不满足。所以，如果仅考虑ZFC，那么我们并没有一个唯一的集合模型。

不过，有相当一部分命题，不管哪个ZFC模型上都满足，对于这些命题，我们可以说，它们在ZFC上是真的，相反，如果一个命题在哪个模型上都不满足，那我们说这个命题在ZFC上是假的。而CH独立于ZFC的意思是，某些模型满足CH（比如哥德尔可构成集），但是另一些模型不满足CH（比如科恩力迫模型），所以CH并不是ZFC的本质推论。

如此看来，ZFC似乎太粗略以至于不能完全刻画出集合概念的方方面面，那么如果我们增加更多的公理，是否就可以得到一个完备的集合理论呢？遗憾的是，根据哥德尔不完备定理，任何皮亚诺算术的扩张都无可避免地会出现像CH这样独立于公理系统本身的命题。不过，如果只针对CH，能否通过添加新公理，使得CH变成可以证明（或证伪）的呢？

这正是哥德尔的计划。当然，你可以直接把CH当新公理加入ZFC，不过那就太无聊了。哥德尔的计划是，通过添加一个直观上很基础的，并且表面上和CH关联不大的新公理（比如V＝L或各种大基数公理），如果ZFC+新公理组成的公理系统可以自然地推出CH（或者~CH），那么就有理由说，这个新系统比起ZFC是一个对集合概念更好的刻画。不过对于大部分数学家，ZFC就已经够用了，CH既然独立于ZFC，那只说明CH并不特别值得研究，仅此而已。

以上是从模型论角度的说明，如果从证明论角度就更好解释了：CH独立于ZFC，因为既不存在从ZFC到CH的有穷演绎序列，也不存在从ZFC到~CH的有穷演绎序列。

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