公理化的集合论与罗素悖论的排除 (3-1)

这篇文章的目的是介绍《陶哲轩实分析》中给出的集合论的公理，并用这些公理简单构造了一些常见的集合的运算，最后由这些公理排除了导致罗素悖论产生的集合。

首先我们需要了解一个重要的关于蕴涵的知识。（从后面来看这个好像也没啥必要=-=）

定理1、设A 是一个命题， B 也是一个命题，那么 (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

证：假设A ⇒ B 为真，则若A为真则B为真，那么若B为假时，即 ¬B 为真时，A一定为假，即 ¬A 为真（否则若A为真那么根据 A ⇒ B 为真则B为真，与此时B为假矛盾），即 ¬B ⇒ ¬A 为真。

假设¬B ⇒ ¬A 为真，则若B为假则A为假，那么若A为真时，B一定为真（否则若B为假则根据 ¬B ⇒ ¬A 则A为假，与A为真矛盾），即 A ⇒ B 为真。

定理2、设A是一个假命题，B是一个命题，则A ⇒ B 一定为真。

证：根据定理1，只需证¬B ⇒ ¬A 为真，因为A恒为假，所以 ¬A 一定为真，那么若 ¬B 为真，则 A 为真（实际上两者根本没有逻辑关系，不管B是不是为真， ¬A 都一定为真），即蕴涵 ¬B ⇒ ¬A 为真，那么 A ⇒ B 为真。

数学中有很多的数学对象，我们简称对象，比如矩阵啊、方程啊、函数啊等等，第一条公理要说的是集合也是一种对象。

公理1、集合是对象

如果A是一个集合，那么A也是一个对象。

非正式的说，集合是一堆没有次序的对象，若x是这堆对象中的一个，那么称x是A中的元素，并记为x∈A ，说它是不正式的是因为它没有告诉我们什么样的一堆对象可以构成一个集合，但是关于x是A中的元素的定义是良好的。

这意味着对于两个集合A和B，问A是不是B中的元素是有意义的。

可以根据这个x是A中的元素的定义来定义集合的相等。

Def 1、集合相等

设A、B是两个集合，(A＝B)：＝(x∈A⇔x∈B)

公理2、空集

存在一个集合∅ ，被称为空集，它满足 ∀ x x∉∅ .

Def2、如果一个集合不等于空集，那么称这个集合是非空的。

结论1、设A是一个非空集合，那么存在一个对象x使得x∈A .

证明考虑反证法‬

公理3、单元素集与双元素集‬

如果a是一个对象，那么存在一个集合{α}，满足 x∈{α} ⇔ x＝α

如果a、b是两个对象，那么存在一个集合{α，b}，满足 x∈{α，b} ⇔ x＝α x＝b。

为了构造更多的集合，我们引入两集合并集公理‬

公理4、两集合并集

给定任意的两个集合A和B，存在一个集合A∪B 被称为A和B的交集，它满足：

∀ x，x∈A∪B ⇔ x∈A∨x∈B。

我们这样定义了集合上的并运算∪。

再补充一个子集的概念，它可以给集合上带来一个偏序关系。

Def2、子集

设A和B都是集合，我们称A是B的子集，记做A ⊆ B 当且仅当 对于任意的对象x，

x∈A ⇒ x∈B

集合的包含关系使得集合是偏序的，但不是全序的。

公理5、分离公理‬

设A是一个集合，对于任意的x属于A，令P(x)表示某个关于x的性质（即P(x)要么为真，要么为假），那么存在一个集合{x∈A|P(x) } 使得对于任意的对象y，

y∈{x∈A|P(x) } ⇔ y∈A P(y)。

利用这条公理可以定义交集和差集的概念，即在集合上定义∩运算和\运算。

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