数学问题

毕达哥拉斯对数学的深入研究，特别是勾股定理的探索，直接导致了无理数的发现。

毕达哥拉斯学派发现了一个著名的几何定理——勾股定理，即在直角三角形中，斜边的平方等于两腿的平方和。即，如果c 是斜边， α 和 b 是两直角边，则有：

c²＝α²＋b²

然而，在等腰直角三角形中：c²＝2α²

毕达哥拉斯学派原本坚信所有数都可以表示为两个整数的比例（即分数）。然而，当他们尝试将√2 表示为分数时遇到了困难。假设存在整数 m 和 n ，使得：

m

√2＝─

n

推出：2＝m²/n²

2n²＝m²

这里的关键在于显示 m 和 n不能同时是无公约数的整数。

从2n²＝m²可知， m² 是偶数，因此 m 也是偶数，设 m＝2k ，代入得：

2n²＝(2k)²＝4k²

n²＝2k²

这表明n² 也是偶数，因此 n 也必须是偶数。如果 m 和 n都是偶数，它们至少有2作为公因数。因此，原先假设的√2 能表示为两个无公约数整数的比例是不成立的。

结论：这个发现表明了存在一类数（即无理数），它们不能用任何两个互质的整数的比例来表示。这不仅展示了数学中的一个重要概念——无理数，也是“不可公约数”概念在理解数的本质中的应用。毕达哥拉斯的这一发现揭示了数学世界的一个新层面，即不是所有的数都可以被简化为最简分数形式，有些数本质上是“不可约的”。这对后来的数学发展产生了深远的影响。

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