自然数体系的构造性原理（三） (4-2)

夏皮罗直觉地认为”位置即对象”，他认为3+9之所以能等于12，是3、9、12三个自然数符号系统在自然数序列中位置的缘故[4]，说明他并未认识到3、9、12最初只能是自然数序列上的三个占位的序号、三个位置点，并不是这三个序数符号指代的物基数“|||₃”、“|||||||||₉”、“（||…|₁₂）”本身。从数体系的构造角度看，自然数序列中的任一自然数系统，只能先是序数系统，对序数系统作指代解码和进制解码后，完成了对这个序数符号系统的物基数信息的读取，这个序数系统才能成为物基数的表达系统。譬如“58”这个数，直观上我们并不能看出它表示的物基数，我们需要对58作指代解码和进制解码，——观察元序列〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉中各符号的位置顺序，知道符号“5”可指代唯一集合｛1，2，3，4，5｝及物基数“|||||₅”（原理见2.1.5章节），符号“8”可指代物基数“||||||||₈”，根据元序列的符号个数可知这是个十进制数，然后我们根据十进制数的倍率，把十位上的5指代的物基数“|||||₅”累加十批次，然后再加上个位上的符号8指代的物基数“||||||||₈”，把58分解成5×10+8，这样才完成了对序数系统“58”表征的物基数的读取。完成读取后，58才能成为一个基、序同体的自然数。

当然，这是从数体系的构造逻辑上说的，日常人们在使用自然数工具时，并不需要每次都对自然数符号系统作指代解码和进制解码，——我们很小时已一次性地完成了对阿拉伯数字的十进制数符号的指代解码（一般十岁之前就学会了加、乘口诀表，加、乘口诀表的建构就是基于符号指代物基数原理的，譬如4（||||）+2（||）=6（||||||）），在我们大脑记忆中，已不知不觉把各种物基数譬如五根手指、两只耳朵与其指代符号5、2划等号了。

数体系的使用者可以基、序不分，但是作为数体系本质的解释者并不能基、序不分，更不能误以为数体系的建构就是基、序同步，——用一个符号系统与一种物基数作对应约定的方法构造的。不难想到，假如我们直接约定令符号“2”及其读音与“||”划等号，约定令符号“3”及读音与“|||”划等号，…，约定令符号“☆”与“（||…|₁₁）”划等号，……，这样造数的话，越来越多、越来越大的物基数我们如何书写？越来越多的基数对应的符号样数，我们大脑如何能记得住？这样的造数理念也被人类几千年的数字史证明是错误的。诞生于公元前2000年前的罗马数（图6）、埃及数（图7）等古数体系，就是按这种理念构造的，所以这类数体系都存在相同的缺陷，不仅书写麻烦，且都没有现代的完备数体系中不可或缺的空位号数，——因为最小的物基数是“|”，用物基数与符号约定的方法造出的数体系，必然没有空位号数。

（图6）罗马数字

（图7）埃及数字‬

上述可见，用物基数与符号直接约定的方法并不能造出完备数体系，我们只能一方面用有限个符号按固定的组合规律，组合构造无限多有序且有规律的自然数序数系统；一方面采取强记住元序列号码的排列顺序以及各自指代的物基数的方法（譬如强记1～9十个符号在元序列中的位置以及这9个号码各自指代的物基数），通过对序数系统作指代解码和进制解码，读取序数系统各数位表征的物基数信息（元序列首位号不指代任何基数，仅指代“空位”）。这样才能构造出既能无限计数，又能作算术运算的完备数体系。

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