追龟悖论 (5-1)

2500年前的芝诺系列悖论自问世以来，深深影响数学界、哲学界、逻辑学界至今。芝诺系列悖论中数追龟悖论的影响最大，哲学家、数学家们对此可谓人人皆知。对于追龟悖论的解释可谓见仁见智、横岭侧峰：有人说芝诺悖论是芝诺对运动连续性的分割导致的；有人说悖论是芝诺对时间空间的分割导致的；有人说追龟悖论说明微积分思想是错误的（作者观点见5.2.2）；有人认为芝诺悖论反映了离散连续的认识论矛盾，是真正的悖论；也有人认为追龟悖论成立与否与数学无穷观有关……

通过以上列出的五花八门的思绪可见，追龟悖论还是相当复杂的，值得每个爱思考的人去穷根问底。

一、追龟悖论大意

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄，一次他和乌龟赛跑，他的速度是10米/秒，乌龟速度是1米/秒，乌龟跑了100米后（位置标记为a点），他开始从后面追，芝诺认为他不可能追上乌龟。芝诺说：”当阿基里斯追到100米的一半50米位置点时，乌龟又向前爬了一段距离，到达了一个新的位置点a¹，而当阿基里斯追到他与a¹点间距的一半时，乌龟又向前爬了一段距离，到达了一个新的位置点a²，等阿基里斯追赶到他和a²位置点的一半时，乌龟又向前爬了一段距离……，这样，阿基里斯和乌龟之间总是有间距（见下图），乌龟总是在阿基里斯的前面，可见，阿基里斯是追不上乌龟的”。

芝诺悖论

二、作者基于运动追赶问题的三个默认前提对追龟悖论作出实事求是的反思

众所周知，速度不变前提下，速度快的运动体必定能在有限时间内追赶上速度慢的同向运动体，这是常识了。如果按芝诺给定的速度条件（阿基里斯速度是10，龟是1），阿基里斯必然能在有限时间内追上并超过龟的。那芝诺有何依据断言阿基里斯永远追不上龟呢？唯一的可能是芝诺对追龟过程的设计以及‘’解释‘’偷换了概念或改变了某些默认前提，‘’导致‘’了阿基里斯永远追不上龟。

10倍于龟速的阿基里斯真的永远追不上在他前方的龟吗？思考及回答这个问题显然要从给定条件以及一些未提出但应默认的前提条件入手。

芝诺给出的比赛信息是：阿基里斯的速度是10米/s，龟速度是1米/s，当龟在跑到距离起点一百米处时，阿基里斯开始起跑追赶龟。

除了芝诺给出的条件信息外，显然我们得提出三个与运动追赶问题有关的默认前提条件。1、二者必须同向、同线，即二者赛跑的方向和赛道必须是相同的，否则能追上还是追不上、何时能追上这些问题都无意义。2、二者的速度必须保持匀速不变，否则追上追不上、何时能追上等问题无意义。3、二者赛跑时必须共用同一时间参照系（共时态）。即阿基里斯和龟的赛跑从某个时间点同时开始（乌龟可以从阿基里斯前方100米处为起点开始跑，但是它必须和阿基里斯同时跑），乌龟和阿基里斯都不能说：‘’你今天跑‘，我明天再跑‘’，它们必须在同一段时间时间内赛跑。若不执行此前提条件，就不能叫赛跑。

以上三个前提条件，在现代人看来都是不言自明的默认前提，芝诺虽然没提及这些前提，但我们现代人在思考追赶运动问题时，应自觉默认这些前提条件，所以我们有必要在这三个前提下，仔细分析芝诺断言的阿基里斯永远追不上龟命题是否成立。

下面作者立足以上三个默认前提，对追龟情境作出了a、b、c三种解释（过程分解），并在这三个前提下分别对这三种追龟解释（策略、方案）的效果作出实事求是的分析。

a、按实时位置分解法分析追龟进程

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