追龟悖论 (5-2)

从给出的三个默认前提条件来说，阿基里斯的追龟过程，必然是阿基里斯和龟间距由100米匀速缩短至0米的动态连续过程，这个结论是毋庸置疑的。本次追龟情境分析就是把阿基里斯追龟的进程实时化，即用‘’时间点对应位置点‘’的实时位置分析法解析追龟过程。分析如下：当阿基里斯和龟的赛跑指令开始后（秒表计时开始），他和乌龟分别以各自的速度在同一时间线和同一空间线上作同向前进，1秒后，阿基里斯跑到距离起点10米处，龟的位置由100米处移动到101米处；2秒后，他们的间距由100米缩短为至82米（102—20）；3秒后，二者的间距缩短至73米（103—30）；……；9秒后，二者的间距是19米；10秒后间距是10米，当11秒后间距缩短至1米（111—110）；11.2秒后，阿基里斯距离起点112米，乌龟距离起点是111.2米，可见，11秒多点时阿基里斯赶上并超过了龟。

b、按小学数学应用题的解题方案分析追龟进程

阿基里斯追上龟所需的时间用小学应用题解题方案很容易解决：在阿基里斯必然能在有限时间内追上龟这一前提下，设阿基里斯x秒后与龟的位置持平，设方程10x=1x+100；→9x=100；→x≈11.11。

解方程后可知，阿基里斯起跑大约11.12秒后，赶上并超过龟。

c、按芝诺给出的间距的1/2追龟法分析追龟进程

第一次；阿基里斯追赶100米的1/2，需要用时5秒（50÷10=5），这时（5秒后），阿基里斯的位置在距离起点的50米处，而乌龟在105米处（100+5x1=105），二者的间距是55米（105—50=55）。第二次；阿基里斯跑完55米的一半27.5米，用时2.75秒（27.5÷10=2.75），这期间乌龟向前爬了2.75米，这时（5+2.25，7.75秒后），阿基里斯的位置距离起点77.5米（50+27.5），乌龟的位置在107.75米处（105+2.75），这时（7.75秒后），二者的间距是30.25米（107.75—77.5）。第三次；阿基里斯再跑去30.25米的一半15.125米，用时1.5125秒，乌龟又向前爬了1.5125米，这时（9.2625秒后），阿基里斯的位置是92.625米处，乌龟的位置在109.2625米处，二者的间距缩短至16.6375米。第四次；阿基里斯跑去16.6375米的一半8.31875米时，用时0.831875秒，而乌龟则向前移动了0.831875米，这时（9.262+0.831≈10，大约10秒后，），乌龟大约在110米处（109.26+0.83≈10），阿基里斯则跑到了100米处（92.62+8.3≈100），二者的间距大约10米。第五次；阿基里斯再跑二者间距的一半（10÷2=5，5米），用时0.5秒，这时总用时10.5秒（10+0.5），这时（10.5秒结束时），龟的位置在110.5米处，阿基里斯则跑到了105米处（100+5），二者的间距已缩短至5米不到，可计算出下一秒11.5秒结束时（10.5+1），乌龟位置在111.5米处，而阿基里斯则跑到了115米处，已经超过龟3.5米。

通过分析可见，即使按芝诺给出的一半一半的追赶方案，在三个默认前提条件下（同向同线、共时间参照系、匀速不变），阿基里斯也是能追上龟的。

三、什么条件下芝诺的‘’阿基里斯追不上龟‘’的断言才能成真？

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