数学定理 (2-2)

σ(ξ)：＝∫ₛ¹eⁱξ·ω dσ(ω).

接下来做标准的频率分解. 引入充分小的待定常数0＜ϵ＝ϵ(δ)＜1/2，对充分大的 J 和每个 J/2≤j≤J 考虑

Step 1. 低频项 |ξ|≤tⱼ⁻¹ϵ：此时

︿

σ(tⱼξ) ≳ 1.

另外

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|1ʙ(ξ) – |B| |＝|1ʙ(ξ) – 1ʙ(0)| ≲ |ξ| |B|.

由tⱼ ∼ 2⁻ʲ，取 J s.t.

ϵtⱼ⁻¹≥1，∀J/2≤j≤J，

于是存在绝对常数C (在不同式子中会变化), 对任意 J/2≤j≤J 有下界估计

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∫|ξ|≤tⱼ⁻¹ϵ|1ʙ(ξ)|²σ(tⱼξ) dξ

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≥ C ∫|ξ|≤1/2|1ʙ(ξ)|² dξ

≥ C ∫|ξ|≤1/2|B|² dξ≥C|B|².

这部分的困难在于要使C 与 ϵ 和 j，J 都无关, 这在[1][2]原文中都没有具体体现(典中典之"it is not difficult to obtain") , 于是笔者"擅自"将原来 1≤j≤J 限制为仅考虑 J/2≤j≤J , 如此并不影响后续论证.

Step 2. 高频项 |ξ|≥(ϵtⱼ)⁻¹ : 由震荡积分理论或直接计算可得

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|σ(ξ)| ≲ |ξ|⁻¹/², 所以有小量估计

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∫|ξ|≥(ϵtⱼ)⁻¹|1ᴀ(ξ)|²σ(tⱼξ) dξ ≲ ϵ¹/²|B|.

Step 3. 中间项 ϵtⱼ⁻¹＜|ξ|＜(ϵtⱼ)⁻¹ : 此时如果直接估计只能得到 ≲ |B| . 为了获得小量上界，Bourgain巧妙地运用了“二进鸽巢原理”(dyadic pigeonholing argument). 记每个二进圆环为

Dⱼ＝{ϵtⱼ⁻¹＜|ξ|＜(ϵtⱼ)⁻¹}，

则每个ξ ∈ ℝ² 至多被 O(log1/ϵ) 个 Dⱼ 覆盖. 注意上界与 ξ，J 无关，这就是二进分解的几乎正交性. 所以

J ︿ ︿

∑ ∫ϵtⱼ⁻¹＜|ξ|＜(ϵtⱼ)⁻¹ |1ᴀ(ξ)|²σ(tⱼξ) dξ

j＝J/2

1

≲ log ─ |B|.

ϵ

于是由鸽巢原理，存在J/2≤j≤J s.t.

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∫ϵtⱼ⁻¹＜|ξ|＜(ϵtⱼ)⁻¹ |1ᴀ(ξ)|²σ(tⱼξ) dξ ≲ J⁻¹ ↓

1

→ log ─ |B|.

ϵ

只需J＞ϵ⁻¹ log ϵ⁻¹即有小量估计 ≲ ϵ|B| 对某个 J/2≤j≤J 成立. 这里鸽巢原理帮助我们选出一个合适的尺度 tⱼ , 大大加强了原有结果.

综上，存在充分小的ϵ 以及某个 j s.t.

lⱼ≥C|B|² – ϵ¹/²|B| – ϵ|B| ≳ δ²，

Bourgain的魔法奏效了！□

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