数理逻辑-余俊伟（一） (5-3)

模态命题逻辑是非真值函数命题逻辑形式，亚氏到刘易斯都有研究。其他非经典命题逻辑也很快发展。

2.1.3 本章基本脉络

构建一个人工语言，以此为基础给出命题逻辑的形式语义和命题逻辑的一个公理系统，再用可靠性和完全性探讨两者关系。此外还介绍公理独立性、紧致性、可判定性。

2.2 语言

所谓语言，就是自然语言、人工语言这样的一个系统，载体为语句。构建人工语言要满足充分性（即表达力能满足要求）、简洁性、无歧义性。首先给出初始符号，包括命题变元、联词（未解释前无意义）、技术性符号（如括号）。这是对象语言层的符号。然后还有谈论对象语言的元语言符号，如任意命题变元、任意公式、任意公式集。然后给出公式形成规则，也就是合式公式。再给出公式定义，即表达式根据公式形成规则形成公式。然后根据联词定义引入联词，可略去，规定一些能省略的括号、联词结合力度、结合顺序等。还有其他构建方法，如波兰式等。这些方法的相同点：定义公式集合的形式化规则是递归的。

2.3 语义

2.3.1 真值

命题逻辑的真值符合二值原则，即真假二值。命题逻辑语义提供一种形式化方法来表达真值和真值条件，即符合论下一个原子命题一个真值，原子命题通过联词组合得到复合命题，从而能确定复合命题的真值。

一直真的命题为重言式，反之矛盾式，分情况的为偶然式。

2.3.2 组合性

组合原则：复合命题的真值由语法构成的真值及语法结构决定。语法结构包括联词和位置两方面。复合命题的公式可根据命题逻辑公式形成规则构建。

因为联词未解释前无意义（2.2节的内容），因此要定义联词，然后才能知道复合命题的真值，

2.3.3 联词与真值表

常用联词有五个，每个都有真值表。析取常用的是相容析取，蕴涵是实质蕴涵。

真值表的优点是直观，缺点是使我们忽略联词本质。联词的本质是函数。真值表法只是一种形式化语义的方法，变元很多时真值表法很困难，因此需要另一种更一般化的表达联词真值的严格语义解释。

2.3.4 形式语义

这种新语义方法如下：语义赋值函数给每个命题赋一个真值。归纳定义后穷尽了所有公式情况。在一个赋值下所有命题都有唯一解释，因此被称为一个模型。因为原子命题无穷所以模型无穷。

然后定义可满足性就是是否存在满足赋值为1的情况，以此定义重言式等。语义后承即真值表里可满足的种种情况。公式、公式集的可满足性都同理。

所谓语法，即句法，即符号集和规则。语法后承是一个公式集根据规则得到的公式。所谓语义，是给语句赋值，也就是真值。比如语句代入值。赋值的本质是函数，函数代入后可得所有公式集。语义后承可以视为真值表法。对形式系统的研究有两种方法：语义方法（模型论方法）和语法方法（证明论方法）。语义方法研究重言式，语法方法研究形式定理。两方法等价。

2.3.5 常见重言式

构建命题逻辑的主要目标就是把范围里的全部重言式找出来。可以一个个解释，也可以构建公理系统或自然演绎系统解释。下面尝试构建一个公理系统。

2.4 公理系统

给出公理、推理规则、证明的定义，能得出内定理。

2.4.1 命题演算‬

例如给出三条公理和一条初始推理规则（分离规则）。

2.4.2 证明和内定理

公理用分离规则得到的序列即证明。即证明是从公理出发通过分离规则得到一个又一个公式。证明的名称以最后一项定，比如最后一项为φ，则叫φ的证明。

如果φ有一个证明，则称φ为一个内定理。每个公理都是内定理。内定理也是模式，即每个内定理模式中都包含了无穷多个内定理。

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