数理逻辑-余俊伟（一） (5-2)

《工具论》中说，推理是一种论证，有些被设定为前提，另外的判断则必然由它们发生。然后区分了证明的推理、辨证的推理、虚假的推理。前提真是指不证自明且独立的或普遍的。推理探索能训练智力、促进交谈、哲学思考。推理意味着我们有了从两方面探讨问题的能力。该理论特别适用于初始原理。

四谓词和十范畴的关系：四谓词总是十范畴之一，一词多义，有时候表示实体，有时候表性质。从十范畴过渡到四谓词表示亚氏开始思考命题，即考察谓项陈述主项的一般特征。《工具论·解释篇》开始研究命题，不是每个句子都能作命题，命题要有真假。

然后开始构建三段论。亚氏三段论要求结构异于前提，认为全称特称外还有不定称（即没有说清楚量）且没有单称（因为要求第一实体不谓述任何一个主体也不在任一主体中）且排除了既可以作主项又可以作谓项的词。随着深入，由研究内涵到了研究外延，研究外延后不定称就失去了意义，到今天被归到全称里了。

1.2.2 弗雷格逻辑与哲学

然后是漫长的历史，如斯多葛学派克吕希波把斯多葛逻辑发展成命题逻辑并给出公理系统。

康德认为亚氏形而上学没建立完于是想建立科学形而上学，认为首先考察人的认识能力本身，然后构建了名为逻辑实则为认识论的先验逻辑，他认为直观与概念结合才是知识。康德摆脱了神学、批判了独断论。康德称亚氏的逻辑为普遍逻辑，然后分析了分析与综合两个范畴，包含在主词中的为分析，不包含的为综合。

弗雷格继承了亚氏第一实体的标准。为澄清数的概念和理解如何获得数命题及性质需要概念文字这种推理工具。弗雷格只研究数学领域的being。

符号体系只是形而上学工程的一个子项目，特色即形式化。自然语言一词多义使它表面的语言语法结构掩盖了深层的逻辑语法结构。弗雷格就抛弃了主谓式改用函数式，并引入概念-对象范畴。概念是值为真值的函数，可以被谓述，对象不能被谓述。然后引入逻辑联词，引入涵义-所指范畴，与内涵逻辑学派和心理主义斗争。造完推理工具后，化归失败了。

函数式的实质是把“是”字取消了，把关系藏起来了，于是形而上学问题被遮盖了。弗雷格后人们研究形式化，如塔斯基的形式语义学（真不可定义性），如哥德尔形式系统证明（哥德尔完全性定理和不完全性定理）。

比较康德与弗雷格的工作：康德在逻辑外设范畴再来审视数学，弗雷格则基于数学再还原（倒推，找数学本原）。弗雷格认为算术真是分析的。弗雷格考察面更窄，步骤保分析性。创立了数理逻辑。

第2章 命题逻辑

2.1 导言

2.1.1 什么是命题逻辑

命题逻辑研究以简单命题为最小单位的关于联词的逻辑规律及其推理。命题是有真值的陈述句。联词连接命题。推理是依据规则由若干命题得到一个命题。推理有层次，暂不考虑一个命题内部结构。命题有真假，偶然性真假暂不考虑。有效通过真来定义。

2.1.2 命题逻辑发展简史

亚氏重视量词，没有重视命题逻辑，但提到的排中律等逻辑律与命题逻辑有关。斯多葛派哲学家对命题算子研究。斐洛对条件句前后件做了研究。斯多葛克吕希波为论证给出了形式化复杂前提的不同方法及其推理模式，如分离规则等。阿贝拉德区分相容和不相容析取。

德摩根后，布尔用布尔代数取代三段论，引入0和1，造了很多联词，被用于计科真值函数命题逻辑基础。弗雷格给出现代第一个公理演算系统，也第一次论证所有联词都能用否定和实质蕴涵定义。罗素给出其他公理系统。皮尔士、谢费尔得出用一个二元算子能定义所有真值算子。尼可德发现只用谢费尔竖一个联词、一个公理模式、一个推理规则就能给出命题逻辑的公理化。多人给出真值表，以及后来重视元理论。根岑给出古典真值命题逻辑的完全自然演绎系统。

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