数学：神奇的统一理论（一） (2-2)

1967 年, 朗兰兹首次阐述了这一构想, 当时年仅30 岁的朗兰兹在一封写给著名数学家安德列·韦伊(André Weil)的信中提到了这一计画,这是一个思考数学的全新方式。在这封17页长的信中, 他谦和的写道: 「如果您愿意把它看作是纯粹的推测, 我会很感激; 如果不愿意, 我相信您身边就有一个废纸篓。」从那时起, 一代又一代的数学家开始接受并扩展了他的构想。现在, 朗兰兹纲领所涵盖的领域非常多, 因此通常被认为是数学界的「大统一理论」。就数学史而言, 这可以说是革命性的。

1979 年, 朗兰兹发展了一项雄心勃勃的革命性理论, 将数学中的两大分支数论和群论之间建立了新的联系。通过一系列的推测和分析, 发现了与涉及整数的公式有关的不可思议的对称性, 并以此提出「朗兰兹纲领」。朗兰兹知道, 证明自己理论立基的假设这项任务需要几代人的共同努力, 而证明「基本引理」将是证明这项假设的合理跳板。他和同事以及学生虽然能够证明这一基本定理的特殊情况, 但证明普通情况所面临的挑战却大大超出他的预想。这项难度极高的工作整整历时30 年才由数学家吴宝珠(Ngô Bảo Châu)证明完成。

朗兰兹纲领是当今数学领域非常活跃的研究方向,它联系了三种来源各异的数学物件:伽罗瓦表示(算术物件)、自守表示(分析物件)和代数簇的各种上同调理论(几何物件),使得相应的三种不变数[阿廷(Artin) LL函数、自守LL函数、哈斯-威尔(Hasse-Weil) LL函数]相匹配。这三大领域的结合为数论问题提供了有力的杠杆, 怀尔斯(Wiles)、泰勒(Taylor)等证明的谷山-志村(Taniyama-Shimura)猜想便是一个范例。朗兰兹纲领的核心问题是函子性(functoriality)猜想, 蕴含了很多著名的猜想, 如阿廷猜想、拉马努金(Ramanujan)猜想、 佐藤-塔特(Misaki-Tate)猜想等。其中, 迹公式是研究朗兰兹纲领的一个重要工具。可见, 研究朗兰兹纲领的团队需要数论、代数群、李群表示论和代数几何专长的研究人员。

如今, 研究朗兰兹纲领的数学家正试图证明这种关系以及其他许多相关的猜想。与此同时, 他们正在用朗兰兹型的联系来解决那些本看似遥不可及的问题。其中最著名的成果是数学家安德鲁·怀尔斯在20世纪90年代初对费马大定理的证明。怀尔斯的证明部分取决于朗兰兹早在几十年前就预言过的数论和分析之间的关系。1996年, 怀尔斯和罗伯特·朗兰兹分享了10万美元的沃尔夫奖。朗兰兹提出的朗兰兹纲领, 是一个使数学各领域之间证明统一化的猜想, 而怀尔斯通过对谷山-志村猜想的证明, 将椭圆曲线和模形式统一了起来, 这个成功为朗兰兹纲领注入了生命力, 一个领域中的问题可以通过并行领域中的对应问题来解决, 这是一个可能使数学进入又一个解决难题的黄金时期的突破性工作。

另外, 越南数学家吴宝珠试图用公式表述一项有关基本引理的精巧证法, 终于在2009年证明了其正确性, 全世界的数学家终于可以松一口气。在这一领域, 数学家过去30年的工作就是本着这样一种原则进行研究, 即基本引理是正确的并且将在未来的某一天得到证明。谈到未来, 吴宝珠说: 「我只是证明了纲领的基本引理, 不是整个纲领。 我们的下一个目标是整个朗兰兹纲领, 基本引理只是它的基础, 是其中一座小山峰。 爬过这座山峰后, 现在可以瞭望朗兰兹纲领了。前面是一座大山, 我们的问题是如何爬上去。 其中一件事是朗兰兹回来了, 他将为我们指示解决整个纲领的新路线。我认为, 整个纲领 也许需要我一生的时间。」

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。