数学：神奇的统一理论（二） (4-3)

在数学中, 被称为「纲领」的成果屈指可数, 出名的仅有爱尔兰根(Erlanger) 纲领、 希尔伯特(Hilbert) 纲领和朗兰兹纲领这三个。爱尔兰根纲领和希尔伯特纲领是19 世纪末至20 世纪初的产物, 它们在数学史上都产生了重要的作用, 影响了数学相关领域很长的时间。而朗兰兹纲领, 它诞生于20 世纪60 年代, 它的诞生已经引领了数学发展40 余年, 并且仍将继续引领着数学的发展。

其实, 我们认识数学基本上都是从整数开始的, 然后是简单的几何与多项式方程。一个最古老的数学分支: 数论, 就是研究整数的。整数中间有无穷的魅力、 奥秘和神奇, 始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。著名的问题包括哥德巴赫(Goldbach)猜想、 孪生素数猜想、 费马(Fermat)大定理等。几何, 同样是最古老的数学分支。古希腊人对直线、 圆周以及圆锥曲线的研究到后来发展成为代数几何, 这个分支专门研究多项式方程对应的图形。过去一百多年来, 代数几何的发展非常迅速, 大家辈出, 在数学其他分支和数学物理中都有很深刻的应用。已获菲尔兹奖的数学家中约三分之一的工作与代数几何有关。然而, 群论的产生只有一百多年, 源于多项式方程的求根公式。人们很早就会解一元一次方程和一元二次方程, 一元三次方程和 四次方程的公式解在十六世纪被找到。一个重要的数学分支「群论」在探索方程的根式解的过程中诞生了。方程是否有根式解与相应的群是否可解为一回事。群论的诞生改变了数学的面貌, 影响几乎遍及整个数学, 在物理和化学及材料科学中有很多的应用, 是研究对称的基本工具。

如之前所述,朗兰兹纲领指出这三个相对独立发展起来的数学分支:数论、代数几何和群表示论,实际上是密切相关的,而连接这些数学分支的纽带是一些特别的函数,被称为 LL-函数。 LL-函数可以说是朗兰兹纲领的中心研究物件。数学界著名的七个「千禧年大奖问题」中有两个就是关于LL-函数的, 分别是黎曼(Riemann)假设和BSD 猜想。

朗兰兹提出了怎样对一般的简约群的自守表示定义一些LL-函数,并猜测一般线性群自守表示的一些LL-函数跟来自数论的伽罗瓦群的一些表示的LL-函数是一样的。这个猜想被朗兰兹本人和其他数学家进一步拓展、 细化, 逐渐形成了一系列揭示数论、 代数几何、 表示论等学科之间深刻联系的猜想。朗兰兹纲领就是对这些猜想和相关问题的研究。

特别地, 拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领, 对更抽象的所谓函数体而非通常的数体情形提供了这样一种完全的理解。我们可以将函数体设想为由多项式的商组成的集合, 对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除。拉佛阁对于任意给定的函数体建立了其伽罗瓦群表示和与该体相伴的自守型之间的精确联系。拉佛阁的研究是以1990 年菲尔兹奖获得者弗拉基米尔·德林费尔德的工作为基础, 后者在20 世纪70 年代证明了相应的朗兰兹纲领的特殊情形。拉佛阁首先认识到德林费尔德的工作可以被推广而为函数体情形的相应的朗兰兹纲领提供一幅完整的图像。在这一工作的过程中, 拉佛阁还发现了一种将来可能被证明是十分重要的新的几何构造, 所有这些发展的影响正在波及整个数学。

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