数学：确定性的丧失（一） (5-2)

希腊人明确地指出数学是处理抽象事物的。柏拉图在《共和国》中提及几何学家：你是否也知道，他们虽利用可见的形象并拿来进行推理，但他们想的并不是这些东西，而是类似于这些东西的理想形象：他们所看到的不是所画的图形，而是绝对正方形及绝对直径……。他们力求看到事物本质，而这只有用心灵之目才能看到。

因而数学首先处理点、线和整数等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圆可以用基本概念来定义，而基本概念正如亚里士多德所说应该是不可定义的，否则就没有起始点。希腊人的精明之处表现在，他们要求被定义的概念应有现实的对应物体，或是论证得到或是构造得到。

为了推导出数学概念，希腊人从自明的、无人怀疑的公理入手。柏拉图用他的回忆理论证明了公里的可行性。正如我们面前提到过的，他认为存在一个真理的客观世界。人在出世前有过精神世界的经历，只要激发一下就可以回忆起以前的经历从而认识到几何学公理是真理，这并不需要实践。但亚里士多德并不是这样认为，他认为公理是可理解的原理，符合思维而没有什么可怀疑的。亚里士多德在《厚验分析》中指出，我们凭着绝对可靠的直觉认识到公理是真理，而且，我们必须以这些公理作为推导的基础。相反，如果使用了一些并未证明是真理的事实，下一步推理就需要证明这些事实，而这一过程是无限循环的，那么这就变成了永无止境的回退。他又区分了公理和公设，公理对所有思想领域皆真，包括“等量加等量还是等量”这样的命题。公设则适用于专业学科，如几何学。从而有，“两点决定一条唯一的直线”。亚里士多德也的确指出公设无需一望便知其为真，但应被其所推出的结果所支持。然而这种不证自得的真理是数学家所需要的。P11

从探求真理的观点来看，值得提及的是托勒密和欧多克斯一样，充分认识到他的理论只是符合观测结果的方便的数学化描述，而不一定是自然的真正设计。对于某些行星，他有几种可供选择的方案，他选择了数学上较简单的那个。托勒密在他的著作《大汇编》的第十三篇中说，在天文学上，人们应寻求尽可能简单数学模型。但托勒密的数学模型，被基督教接受为真理。P17

对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透漏给我们的。——开普勒P22

中世纪欧洲的学者虽然是真理的孜孜不倦的探求者，却是到《启示录》和《圣经》中去寻找真理，因此中世纪的思想家没有为自然界的数学设计提出新的证据。然而，后来的中世纪哲学家确实承认自然行为的规律性和一致性，尽管这被认为是上帝的意志的结果。P24

然而，他们面临一个难题，希腊目标与当时盛行的文化产生了冲突。希腊人相信自然界的数学设计，自然界亘古不移地遵守某个理想的方案。而后来中世纪学者把所有的方案和行为都归于上帝，他是设计者和创造者，而且所有的自然界行为都遵循他制定的规则，宇宙是他的杰作，是他的意志的产物。文艺复兴时期及后续几个世纪的数学家和科学家都是正统的基督徒因而接受了以上宗旨，但是天主教学说中绝不会包括自然界的数学设计这样的希腊教条，那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探求自然界的教学法则和谐一致呢？答案就是再增加一条新教义，即上帝依照数学设计了宇宙，这样，以理解上帝的意愿和他的创作为最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝对自然的数学设计的形式出现。P26

但开普勒也具备我们今天归于学者才有的那种品质，即近乎冷酷的理性化。他丰富的想象产生了新理论体系的概念，但开普勒明白理论必须与观察结果相一致，到了晚年他更清楚地意识到正是从经验资料提出了科学的基本原则，开普勒因此甘心放弃他最心爱的数学假设，一旦看到这种假设和观测数据不一致，他就以难以置信的固执拒绝容忍任一位当时学者都会忽略的偏差。这导致他可以赞成极端的科学思想。

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