数学：确定性的丧失（三） (5-2)

欧几里得的公理是一种什么样的情况呢？他可能是依据亚里士多德的观点，阐述了五条可普遍应用于推理的公理，和五条仅用于几何学的公设。第一条公理是说，等同于同一事物的事物彼此相等。欧几里得把“事物”这个词解释为长度、面积、体积和整数。当然，“事物”一词未免过于模糊。另一个使人误入歧途的公理是这样的：彼此重合的事物是相等的。他运用这一原理证明两个三角形全等，因为他认为通过将一个三角形放在另一个三角形之上，加上另外一些给定的条件，可以发现这两个三角形是一致的。但是，在将一个三角形放在另一个三角形上面的过程中他必须移动这个三角形，而在这一过程中他假定了运动中三角形不改变性质。实际上这个公理就是说，我们所处的空间是各向同性的，也就是说，无论放在哪，图形的性质始终不变。这或许是一个合理的假设，但却是一个额外的假设。除此之外，运动的概念定义中也没有涉及到。

另外，欧几里得还运用了大量他没有阐述的公理。高斯注意到这样一个现象，欧几里得提到了位于其他点之间的点和位于其他线之间的线，但是他却没有解释“位于之间”这个概念和它的性质。显然，欧几里得将他头脑中的几何图形引入了他的推理并取代了实际图形所具有的特性，但是并没有在公理中体现出来。图形是一种帮助思考和记忆的手段，但它不能做为推理的基础。欧几里得还用到了另外一个没有明确提出的公理，涉及到专业上称为连续性的问题。莱布尼茨注意到了这一点，欧几里得用到了这样一个事实：A，B两点分别位于线l的两侧，连接A，B两点的线必然和l有一个公共点。在图上当然是很明显的，但是并没有任何公理能够保证这个公共点必然存在。我们甚至不能说线l的两侧，因为这也需要公理作为保证。P98

这个特殊的公式是很了不起的，古希腊人认为三个以上的数的乘积是没有意义的，因为这一乘积没有任何几何意义，而海伦却没有这一种顾虑。在亚历山大里亚希腊人发展的许多纯科学和应用科学中，如历法推算、时间测量、航海、数学、光学、地理学、气体动力学和流体静力学中，无理数被人们随意地使用。P102

从现今的角度出发，和自由使用无理数同样值得注意的就是埃及和巴比伦代数独立于几何的复兴。其杰出代表是海伦和另一个亚历山大里亚希腊人丢番图。他们都将算术和代数独立处理，而不依靠几何引出或依靠几何做为逻辑依据。P103

就算术和代数来说，海伦和丢番图，阿基米德和托勒密的著作读起来就像埃及人和巴比伦的程序化的课本，只告诉我们如何去做。欧几里得、阿波罗纽斯和阿基米德几何的那种有条不紊的演绎证明全然不见了。所解的问题，都是归纳性质的，就是说他们所指明的解具体问题的方法，虽或能应用于一般性的一类问题，但并未规定应用的范围能有多广。各种不同类型的数，整数、分数和无理数（除了欧几里得关于整数的不完善的工作外）都没有确切的定义，也没有一套公理基础来建立演绎结构。

因此，古希腊人留给后人两门截然不同的、发展得不一样的数学分支。一方面是演绎的、系统的、但有些缺陷的几何，另一方面则是经验算术及其延展代数。考虑到古希腊人要求由清晰的公理基础推论得到数学结果这样一个事实，而独立的算术和代数却没有它自己的逻辑结构，因此其出现成了数学史上一个巨大的反常现象。P105

但是在印度人随意地把那些适用于有理数的步骤运用到无理数的过程中，数学却取得了进展。此外，他们所有的算术都是完全独立于几何的。P106

概而观之，印度人注重的是算术和计算方面，而不是演绎结构。他们将数学称为ganita，意思是计算的科学。P107

一方面斯蒂费尔说：

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