数学联邦政治世界观
超小超大

双伽马函数 (3-3)

=–γ+∑ (∫₀¹tⁿdt – ∫₀¹tⁿ⁺ˢ⁻¹dt)

ₙ₌₀

=–γ+∑ ∫₀¹tⁿ(1 – tˢ⁻¹)dt

ₙ₌₀

=–γ+∫₀¹(1 – tˢ⁻¹)(∑tⁿ)dt

ₙ₌₀

1 – tˢ⁻¹

=–γ+∫₀¹ ──── dt

1 – t

因此

1 – tˢ⁻¹

ψ(s)=–γ+∫₀¹ ─── dt

1 – t

1

若s=─,∀n ∈ ℕ,n>1,则

n

1 1 – t

ψ(─)=–γ – n ∫₀¹ ─── tⁿ⁻²dt

n 1 – tⁿ

当n=2 时

1 1 – t

ψ(─)=–γ – 2 ∫₀¹ ─── dt=–γ – 2 ↓

n 1 – t²

dt

∫₀¹ ───=–γ – 2 ln 2

1+t

与黎曼ζ函数的关系

根据定义可知

∞ 1 1

ψ(s+1)=–γ+∑ (── – ──) dt

ₙ₌₁ n n+s

∞ s 1

=–γ+∑ ─ · ──

ₙ₌₁ n² s

1+─

n

∞ s ∞ (–s)ᵏ

=–γ+∑ ─ ∑ ───

ₙ₌₁ n² ₖ₌₀ nᵏ

∞ ∞ 1

=–γ+s∑(–s)ᵏ∑ ───

ₖ₌₀ ₙ₌₁ nᵏ⁺²

ζ(k+2)

=–γ+s∑(–s)ᵏζ(k+2)

ₖ₌₀

=–γ – ∑ζ(k+1)(–s)ᵏ

ₖ₌₁

亦即

ψ(s+1)=–γ – ∑ζ(k+1)(–s)ᵏ

ₖ₌₁

或者

ψ(s+1)+γ ∞

─────=∑ζ(2+n)(–t)ⁿ

t ₙ₌₀

根据拉马努金定理可得

ψ(t+1)+γ π

∫₀∞ ───── dt=── ζ(2 – s)

t²⁻ˢ sin πs

例如

ψ(t+1)+γ π

∫₀∞ ───── dt=─

√t 2

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