双伽马函数 (3-3)

＝–γ＋∑ (∫₀¹tⁿdt – ∫₀¹tⁿ⁺ˢ⁻¹dt)

ₙ₌₀

∞

＝–γ＋∑ ∫₀¹tⁿ(1 – tˢ⁻¹)dt

ₙ₌₀

∞

＝–γ＋∫₀¹(1 – tˢ⁻¹)(∑tⁿ)dt

ₙ₌₀

1 – tˢ⁻¹

＝–γ＋∫₀¹ ──── dt

1 – t

因此

1 – tˢ⁻¹

ψ(s)＝–γ＋∫₀¹ ─── dt

1 – t

1

若s＝─，∀n ∈ ℕ，n＞1，则

n

1 1 – t

ψ(─)＝–γ – n ∫₀¹ ─── tⁿ⁻²dt

n 1 – tⁿ

当n＝2 时

1 1 – t

ψ(─)＝–γ – 2 ∫₀¹ ─── dt＝–γ – 2 ↓

n 1 – t²

dt

∫₀¹ ───＝–γ – 2 ln 2

1＋t

与黎曼ζ函数的关系

根据定义可知

∞ 1 1

ψ(s＋1)＝–γ＋∑ (── – ──) dt

ₙ₌₁ n n＋s

∞ s 1

＝–γ＋∑ ─ · ──

ₙ₌₁ n² s

1＋─

n

∞ s ∞ (–s)ᵏ

＝–γ＋∑ ─ ∑ ───

ₙ₌₁ n² ₖ₌₀ nᵏ

∞ ∞ 1

＝–γ＋s∑(–s)ᵏ∑ ───

ₖ₌₀ ₙ₌₁ nᵏ⁺²

︸

ζ(k＋2)

∞

＝–γ＋s∑(–s)ᵏζ(k＋2)

ₖ₌₀

∞

＝–γ – ∑ζ(k＋1)(–s)ᵏ

ₖ₌₁

亦即

∞

ψ(s＋1)＝–γ – ∑ζ(k＋1)(–s)ᵏ

ₖ₌₁

或者

ψ(s＋1)＋γ ∞

─────＝∑ζ(2＋n)(–t)ⁿ

t ₙ₌₀

根据拉马努金定理可得

ψ(t＋1)＋γ π

∫₀∞ ───── dt＝── ζ(2 – s)

t²⁻ˢ sin πs

例如

ψ(t＋1)＋γ π

∫₀∞ ───── dt＝─

√t 2

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