双伽马函数 (3-2)

ln k＝∫₁ᵏ ─

t

1

欲继续优化，考虑 ─＝Ը(t) ，即

t

dt

∫₁ᵏ ─＝∫₁ᵏ Ը(t)dt

t

＝∫₁ᵏ dt ∫₀∞ e⁻ᵗˣ dx

＝∫₀∞ dx ∫₁ᵏ e⁻ᵗˣ dt

e⁻ˣ – e⁻ᵏˣ

＝∫₀∞ ───── dx

x

我们能够交互积分顺序，皆因两积分都是收敛的

于是

e⁻ˣ – e⁻ᵏˣ

ln k＝∫₀∞ ──── dx

x

欧拉常数的积分表达式

根据欧拉常数的定义可知

ₖ 1

γ＝lim (∑ ─ – ln k)

k→∞ ₙ₌₁ n

1 – e⁻ᵏᵗ

＝lim (∫₀∞ ─── dt

k→∞ eᵗ – 1

︸

Hₖ

e⁻ᵗ – e⁻ᵏᵗ

– ∫₀∞ ──── dt)

t

︸

ln k

e⁻ᵗ e⁻ᵗ

＝∫₀∞ ─── dt – ∫₀∞ ─── dt

1 – eᵗ t

e⁻ᵗ e⁻ᵗ

＝∫₀∞ (─── – ───)

1 – e⁻ᵗ t

e⁻ᵗ

该公式表明 : 调和级数 ∫₀∞ ──

1 – e⁻ᵗ

e⁻ᵗ

与对数极限 ∫₀∞ ─ dt之差为常数。

t

双伽马函数的积分表达式

刚才我们已得到调和函数的积分表达式

ₖ 1 1 – e⁻ᵏᵗ

Hₖ＝∑ ─＝∫₀∞ ──── dt

ₙ₌₁ n eᵗ – 1

已知双伽马函数的级数表达式‬

∞ 1 1

ψ(s＋1)＝–γ＋∑ (─ – ───)

ₙ₌₁ n n＋s

右侧级数即为调和函数

∞ 1 1 ∞ 1

∑ (─ – ──)＝∑ ─ ↓

ₙ₌₁ n n＋s ₙ₌₁ n

∞ 1 ₛ 1 1 – e⁻ˢᵗ

– ∑ ───＝∑ ─＝∫₀∞ ─── dt

ₙ₌₁ n＋s ₙ₌₁ n eˡ – 1

︸

Hₛ

将欧拉常数的积分表达式代入即得

e⁻ᵗ e⁻ˢᵗ

ψ(s＋1)＝∫₀∞(─ – ──) dt

t eᵗ – 1

双伽马函数的其他积分式

我们想推导出一个便于计算的双伽马函数积分式，仍然从定义入手。

根据定义

∞ 1 1

ψ(s)＝–γ＋∑ (── – ──)

ₙ₌₀ n＋1 n＋s

考虑用M(x) 替代级数内的两个分式

∞

ψ(s)＝–γ＋∑ [M(n＋1) – M(n＋s)]

ₙ₌₀

∞

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