双伽马函数 (3-1)

双伽马函数

定义

双伽马函数定义为伽马函数的对数导数

Γ'

ψ(s)＝─ (s)

Γ

递推公式

根据ψ函数的定义可知

Γ' [sΓ(s)]'

ψ(s＋1)＝─ (s＋1)＝───

Γ sΓ(s)

sΓ'(s)＋Γ(s) Γ' 1 1

＝────＝─ (s)＋─＝ψ(s)＋─

sΓ(s) Γ 2 s

因此

1

ψ(s＋1)＝ψ(s)＋─

s

反射公。

根据余元公式可知

π

Γ(s)Γ(1 – s)＝───

sin πs

因此

lnΓ(s)＋lnΓ(1 – s)＝ln π – ln sin π s

等式两边对 s 求导

Γ' Γ'

─(s) – ─(1 – s)＝–π cot πs

Γ Γ

因此

ψ(1 – s) – ψ(s)＝π cot πs

欧拉常数

欧拉常数被定义为调和级数与对数极限之差

ɴ 1

γ＝lim (∑ ─ – ln N)

ₙ₌₁ n

显然我们能有多种方法改写这个式子。

观察以下积分

1

─＝∫₀¹tˣ⁻¹dt＝∫₀∞e⁻ˣᵗdt

n ︸

Ը{1}(x)

我们定义

M(x)＝∫₀¹tˣ⁻¹dt

{

L(x)＝Ը{1}(x)

调和级数的积分表达式

调和级数是调和函数的极限

ₖ 1

H＝lim ∑ ─＝lim Hₖ

k→∞ ₙ₌₁ n

︸

Hₖ

由于

ₖ 1 ₖ ₖ

Hₙ＝∑ ─＝∑ L(n)＝∑ ∫₀∞e⁻ⁿᵗdt＝∫₀∞↓

ₙ₌₁ n ₙ₌₁ ₙ₌₁

ₖ

(∑e⁻ⁿᵗ)dt

ₙ₌₁

右侧积分内级数为等比数列，显然

ₖ 1 – e⁻ᵏᵗ

∑ e⁻ⁿᵗ＝e⁻ᵗ .────

ₙ₌₁ 1 – e⁻ᵗ

出于收敛性考虑，我们暂时不取极限，直接代入即得

ₖ 1 1 – e⁻ᵏᵗ

∑ ─＝∫₀∞ ──── dt

ₙ₌₁ n eᵗ – 1

亦可通过黎曼ζ函数得到该结果

1

H＝lim ζ(s)＝lim ── ∫₀∞ ↓

s→1 s→1 Γ(s)

tˢ⁻¹ dt

─── dt＝∫₀∞ ───

eᵗ – 1 eᵗ – 1

对数的积分表达式

对数可表示为积分

dt

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