自然数与四则运算 (2-2)

其中，“…”处有m个1。意思就是，对于数轴上表示n的那个点，往右走m个单位长度（就是m个1），就会到达“n+m”对应的位置。

n’+m＝（n+1）+m‬

＝（n+1）+（1+1+…+1）（m个1）

（n+m）’＝n+m+1

显然是一样的意思。

那为啥数学上明明只是为了表示平移，在生活上却能对应“总和”呢？

原因很简单，比如m+n，“m”其实就是从0开始，向右平移了m个单位长度，“+n”就是在此基础上继续平移n个单位长度，其实就相当于问“从0开始平移了多少？”

这个操作与生活上的“总和”意思其实是一样的，所以生活上直接搬运过来，也没啥问题。

其实对减法的定义，是牵扯到负数的，即：

a-b＝a+（-b）

负数是为了表示“与正数”相反的意义，而减法的意义本就与加法相反（前面说了，在数轴上的定义，加右减左），所以负数和减法其实是一回事。

这也是学到后面几乎很少提及减法的原因，因为有加法就足够了，减法可以转化为加法进行讨论。

在自然数中，乘法的定义是“几个几”，这是小学版本的定义。那么，如果放到数轴上呢？

其实，可以这么理解：如果将一个数×2，那就用原数轴的2表示新数轴的单位1。那么，原数轴上的数字，×2的结果就是新数轴上对应的数字，

这也是乘法可以用来表示“扩大”和“缩小”的原因。你看上面两个数轴，能否理解为：将x轴缩短2倍得到x’轴（轴缩短等价于数增大，对应位置原数×2），将x’轴拉伸2倍得到x轴（轴拉伸等价于数减少，对应位置就是原数÷2）呢？

根据这个关系，不难看出，乘法和除法也是逆运算。在数学上，对除法的定义是：

a÷b＝a×（1/b）。

当然，这已经不是自然数的范畴了。因为除非a,b＝1，否则a和（1/a）不可能都是自然数。

那么，为啥数轴上表示“扩增”的乘法，可以在生活中表示“几个几”呢？那是因为数学上的扩增，被扩增的部分一定是数字相同的。比如，将4扩增为原来的3倍，那么这“3倍”的每部分都是4，即必然是4+4+4，所以可以理解为3个4相加。

除法可以用来表达“平均分”，其实也是这个原因。比如将12缩小为原有的1/3，其实就是找一个数，这个数扩大3倍能得到12。因为扩大时的成分相同，所以在缩小时，也必然能做到“平均分”。

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