物理学场论对应一个群 (2-2)

对于量子场论中的场，定义为作用于真空态上产生一个对应的单粒子态，因为单粒子态在坐标系变换下遵从某一个群表示的变换，对应的生成算符也按照这个群表示进行变换。而场算符必然具有某种群表示属性也极大的限制了在Lagrangian中场算符出现的形式。因为它们的组合必须要让Lagrangian具有Lorentz不变性。否则，不同参考系观察到的稳定态会不一样，得到的物理结果也会不同。换句话说，不同的参考系会看到完全不同的现象和因果。这点与我们的经验不符。

规范场和Lie群‬

学量子力学时就知道态函数ф 有一个相位不变性。即 ф → фeⁱθ⁽ˣ⁾并不改变概率分布。我们也知道电磁场有一个规范不变性，即 Aμ → Aμ＋∂μα 不会改变电磁场 E B 。然而当我们写下旋量场的Lagragian后，我们发现 Ը＝ˉψ(iγμ∂μ – m)ψ 并非相位不变，因为求导会对相位作用得到额外一项 – γμ∂μθ 。但是如果将电磁场考虑进去，我们发现

1

Ը＝–─FμνFμν＋ˉψ(iγμ∂μ – m)ψ – eˉψγμψAμ

4

这一额外项可以被吸收进Aμ 中，只要我们定义

1

Aμ → Aμ ─ ∂μθ(x) ，

e

1

这对应于一个规范变换 α＝─ θ。

e

所以这两个看似冗余的自由度，恰恰互相抵消。这个相位对应的操作数学上也对应一个群，U(1) 群。

数学上假定一个更高的相位不变性，如果由数个场组成的系统具有ψ → U(x)ψ不变, 其中

ψ＝(ψ₁，ψ₂，ψ₃，ψ₄，· · ·，ψɴ)ᵀ and

U(x) ∈ SU(N)

那么对应的Lagrangian则需要更多的类似于光子的规范场和规范不变性才能抵消掉这个SU(N) 群元相位在求导下多出来的项（需要的规范场的数量等于 SU(N) 生成元的数量）。尽管这个假定在物理上并无像 U(1) 对称性那样明显的原因，却仍然被成功地用于解释夸克等粒子行为。

尽管看上去这一切非常的神奇，就好像规范场的存在就是为了让态函数的相位不变性合理一样。但实际上逻辑可能恰恰相反。或许正因为我们描述微观世界的语言不够准确，才同时让电磁场和量子态具有了多余的自由度。其根本原因可能比我们想象的更深刻。

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