不可数集问题

命题：对于全序集 (P，＜) ，若任何前段的基数都小于 κ ，则 |P| ≤ κ 。[1]

证明：思路很简单，去构造该全序集的一个良序“骨架”。

由选择公理，取P(P) – ∅ 的一个选择函数 F ，来归纳构造 P 的良序子集 {αα|α＜γ} 。先取

F({x|∀β＜α(x＞αᵦ)})，if {x|∀β＜α(x＞αᵦ)}

αα＝{

P， else

再令 γ＝min{α|αα＝P} ，那么易知 {α|αα＜γ} 为 P 的无界良序子集。记 Aₓ＝{y∈P|y＜x} 为 x 的前段，可知 P＝∪Aα 。

α＜γ

其中 |Aα|＜κ ，同时必有 γ ≤ κ （否则 {αα|α＜κ} ⊆ Aακ ，基数不小于 κ ，矛盾），因此 |P| ≤ κ × κ＝κ 。 □

回到本问题，首先固定一个E 的元素 x₀ ，由 E 不可数知 x₀ 前段与后段中必有一个不可数。不妨设后段 P＝{x∈ℝ|x＞x₀}∩E不可数，运用命题结论知存在 P 的某前段基数不小于 ℵ₀ ，即存在 x₁ 使得 |(x₀，x₁)∩E| ≥ ℵ₀ 。

参考

1. Set Theory, Jech习题5.3

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