先验哲学（一） (5-4)

公元前6世纪前后，希腊哲学家和数学家泰勒斯开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。所谓“证明”就是借助一些公理或其真实性得到确定的命题来论证某一命题的真实性。亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理化方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。亚里士多德的观点深刻影响了当时的希腊数学家欧几里得。欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，完成了数学史上的重要著作——《几何原本》。《几何原本》是实质公理学(注：公理学研究的对象、性质和关系被称为“论域”。按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，叫作“实质公理学”。)的典范。公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性。在这部最早的公理化数学著作中，欧几里得从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理。他总结概括了23个定义、5条公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，因而将几何学变成了演绎体系。在《几何原本》中，无论是定义、公理还是命题都不是关于经验的事实性陈述(注：欧几里得《几何原本》，兰纪正、朱恩宽译，译林出版社2014年版，第1-3页。)，而是基于一种严格的普遍性和体系的经济性所建立的几何体系，其中的命题不是关于现实的经验性命题，而是基于定义和自明公理的“先验的必然性命题”(注：比如，“点是没有部分的”（欧几里得《几何原本》第Ⅰ卷定义１）的定义就不是基于经验的——在现实中找不到没有部分的点，而是一种被理想化的“模型”，“点”表示位置。这种理想化的模型具有绝对性和确定性，并且为其他概念的定义乃至后面的定理的证明提供了坚实基础。)。

根据以上的论述我们发现，公理化方法的明显特征就是：它只基于少量定义和公理，从较为直观和明白的命题就能过渡到一种包含深刻性和复杂性的更高级的命题，而这些命题是用其他方法不容易达到的。

《几何原本》之后，成功运用公理化方法的典型例子，首推牛顿的经典著作《自然哲学之数学原理》。牛顿在该书的《第一版序言》中赞叹说，“从别处借用如此少的原理，就能取得如此多的成就，这是几何学的荣耀”(注：“It is the glory of geometry that from so few principles， fetched from without， it is able to accomplish so much. ”参见：牛顿《自然哲学之数学原理》，王克迪译，北京大学出版社2006年版，第一版序言，第17页。)，并相信“理性的力学是一门精确地提出问题并加以演示的科学，旨在研究某种力所产生的运动，以及某种运动所需要的力”(注：牛顿《自然哲学之数学原理》，第一版序言，第17页。)。所以，该书的主要任务是：从运动现象去研究自然力，再由这些力去推演出其他运动现象。该书仿照了《几何原本》的方法，从最基本的定义和公理出发，通过将数学论证和力学分析巧妙结合，演绎出了关于万有引力及在此作用下物体运动的若干定理；最后，作为“成果的运用”，牛顿把前人已经取得的科学成果作为一种必然的结论包含在他的体系中。不仅如此，牛顿还把万有引力定律用于宇宙遥远的星体，不仅解释了一些天体运动现象，而且将亚里士多德区分的“天上运动”和“地上运动”第一次统一于同一的物理定律。

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