实数和自然数哪个更基础？ (3-2)

此外，显然康托对角线法违反了自然数的单值性要求，它如果成立，就要求作为自然数的位数为单值，但它却由沿着对角线逐位变换每位状态实际使得自然数（这里指表示位数的有特定用途的自然数）变为多值的了。有一个自然数却有多个自然数状态这回事吗？比如自然数5，却有“1”与“0”这两种状态？没有。5就是5，它不是任何别的什么，更不可能是多值的。所以这个证明是错的。位数如果单值，就等价于一个实数一旦列出，就不能再变化改动其任何一位的数值而成其它实数，也就是该实数的每一位的数值都是确定了的。这等价于不再允许康托对角线法的那个沿着对角线的逐位求异操作存在，这当然就不会再有康托对角线法的预期结论。或则，既然定了自然数（位数）一位可有两个状态（二进制时），就理应允许纵向的排列位置也一个位置可有两个状态，比如三个位置，可以表示8个不同的实数，这才对等公平。不能厚此薄彼。都是自然数，横向的位数可以一位两个状态（数值），而纵向的同样用自然数标记的实数个数却只是一个位置表达一个实数，这种对应方式（函数关系）是不对等的。总之，，无论是前面两种对应方式中的哪一种，对角线法均不可用：单值情况，不可再逐位求“异”；多值情况，虽可“求异”，但在对角线上产生的数仍在前n个位置可以表达的2n个前n位的排列方式已经完备的实数中。比如，前3位，就有23 = 8个前3位的所有可能排列方式共8个。而对角线上的前三位逐位求异得到的那个排列方式，必是这8种不同的排列方式之一。总之，对角线法会失效。于是，我们可以完全仿照康托对角线法的做法，来重新构造我们的实数表：在纵向，每n个位置（n当然是任意的），我们表示2n个前n位所有可能的排列方式的实数（在二进制下。十进制其实也也一样，不过是10n罢了）。比如3个纵向位置，就表示8个这样的实数（十进制下，就是103 = 1000个实数）。而4个位置，就表示24 = 16个这样的实数，如此，在此表中，无论n多大，前n位所有不同的实数都在此表中。具体的n如果有限，2n再大，也是有限的，随着n的趋于可数无穷，2n也会趋于可数无穷，而按康托对角线法在对角线上逐位求异得到的那个所谓的“新的”实数，必在此表中，一点也不再“新”了。如此，与其说在这里康托对角线法证明是实数不可数，还不如说这个新的康托对角线法证明了所有实数都在此可数表中，也就是证明了实数可数。否则，任何人，能提出一个实数，不在此表中吗？试试看？于是，我们可以提出一个真正意义的反证法：设有某实数不在此表中，则必然存在一个自然数n（无论多大），该实数的前n位的排列方式不在此表的前n位的2n个排列方式中，但是按前面我们对此表的安排，此种情况不可能出现，2n对于n对应的不同排列数而言，是完备的，于是该实数必然存在于2n个不同的排列中，而n是任意的，多大都行，于是假设不成立，即所有实数都在此表中，得证。总之，康托对角线法在对角线上通过逐位求异得到的那个实数，必然不在纵向所列的n个实数中，但却必在纵向所列的与位置n对应的2n个实数中。而如果n是自然数，可数，前面已经说了，s = 2n必然也是自然数，可数。如23 = 8，3是自然数，8就不是了？这种关系随着n的无限增大，始终都是保持着的，不会变。也就是，康托怎么证明的对角线上新产生的实数不在n个实数中，笔者就可以怎么证明对角线上新产生的那个实数必在2n个实数中。而n与s = 2n，都是可数的，都是自然数。参见附图。

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