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实数和自然数哪个更基础? (3-1)

用康托对角线法证明(反证法)实数集合不可数过程中的逻辑问题

沈卫国(2024年1月28日)

内容摘要:在前期相关文章的基础上,明确给出康托对角线法所犯的逻辑错误。同时给出了一个与康托对角线法对等的证明实数可数的方法。此方法与以往给出的方法本质一样,但应该更简单些。

关键词:康托对角线法;反证法;实数;可数;不可数;逻辑;单值;多值;二进制;位数;自然数;充分必要;假言判断;前提;隐含前提;选言判断‬

康托对角线法证明实数集合不可数的的反证法的第一句,就是“假设实数可数,它的全部就可以排成一列”。既然是只是个假设,就是“全部实数可以排成一列”这个命题是可真可假的。而一旦实数是不可数的,就意味着不可能排出全部实数,也就是任何一次具体的排列,只能是排出一列非全部的、只是实数一部分的实数集合的一个真子集。但既然每次排列都只能排出一个实数的真子集,也就是部分实数,人们又怎么可能通过这具体的一次排不出全部实数,就来断定永远也排不出呢?而实数不可数的定义,可绝对不是一次排不出就是不可数,而是任何一次、任何对应方式下都排不出。难道可以通过一次(数学中不是用“∃”表示的吗?)得到的结论,就可以证明所有(数学中用“∀”表示,特别还是无穷次)的结论?在逻辑上,这是不是“以偏概全”的逻辑错误?因此我们可以说,实数不可数这个结论,按不可数的定义,是原则不可能被证明的。具体说,就是不可能被有限步内证明,或在有限步内被证明。因为实数与自然数的对应方式(函数关系,映射方式)可以有无限种,根本就无法一一穷尽。无法穷尽,如何证明?另一方面,就算退一步,实数不可数是可以证明的,对角线法的假设“全部实数排成一列”,其否定命题也包含两层意思,一是根本不可能排出,二是可以排出,但此次没有排出。因此由康托对角线法得到的否定命题“全部实数此次没有能排成一列”,也并没有证明全体实数根本就不可能排成一列。它没有证明用其它方式、对应原则等是不是可以排出全部实数的问题。更何况其在对角线法的证明过程中无意中引入了“所列单值的全部实数,与每位多值的位数一一对应”这样的隐含假设。而实数不可数、可数的定义中,从来也没有这样的前提条件。在逻辑上,这属于“运用选言判断中的逻辑错误”,具体说就是“遗漏选言支造成的谬误”。从假言判断的角度看,康托对角线法的“证明过程”和“结论”,充其量只是一个“必要条件假言判断”,而不是所真正需要的一个“充分条件假言判断”。更不是“充分必要假言判断”了。也就是说,实数如果不可数,当然不可能在任何一次排列中排出,也自然包括康托对角线法证明过程这一次,但这并没有充分的根据说就此实数就不可数了。它说的或所谓“证明”的,仅仅是按康托对角线法的隐含假设,全部实数并没有被全部列出而已。但这可不是不可数。

总之,运用假言判断常见的逻辑谬误有: 强加条件关系的谬误。以及混淆条件关系的谬误。经常会混淆必要条件和充分必要条件的关系,因此构成谬误。

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