实数和自然数哪个更基础？ (3-1)

用康托对角线法证明（反证法）实数集合不可数过程中的逻辑问题

沈卫国（2024年1月28日）

内容摘要：在前期相关文章的基础上，明确给出康托对角线法所犯的逻辑错误。同时给出了一个与康托对角线法对等的证明实数可数的方法。此方法与以往给出的方法本质一样，但应该更简单些。

关键词：康托对角线法；反证法；实数；可数；不可数；逻辑；单值；多值；二进制；位数；自然数；充分必要；假言判断；前提；隐含前提；选言判断‬

康托对角线法证明实数集合不可数的的反证法的第一句，就是“假设实数可数，它的全部就可以排成一列”。既然是只是个假设，就是“全部实数可以排成一列”这个命题是可真可假的。而一旦实数是不可数的，就意味着不可能排出全部实数，也就是任何一次具体的排列，只能是排出一列非全部的、只是实数一部分的实数集合的一个真子集。但既然每次排列都只能排出一个实数的真子集，也就是部分实数，人们又怎么可能通过这具体的一次排不出全部实数，就来断定永远也排不出呢？而实数不可数的定义，可绝对不是一次排不出就是不可数，而是任何一次、任何对应方式下都排不出。难道可以通过一次（数学中不是用“∃”表示的吗？）得到的结论，就可以证明所有（数学中用“∀”表示，特别还是无穷次）的结论？在逻辑上，这是不是“以偏概全”的逻辑错误？因此我们可以说，实数不可数这个结论，按不可数的定义，是原则不可能被证明的。具体说，就是不可能被有限步内证明，或在有限步内被证明。因为实数与自然数的对应方式（函数关系，映射方式）可以有无限种，根本就无法一一穷尽。无法穷尽，如何证明？另一方面，就算退一步，实数不可数是可以证明的，对角线法的假设“全部实数排成一列”，其否定命题也包含两层意思，一是根本不可能排出，二是可以排出，但此次没有排出。因此由康托对角线法得到的否定命题“全部实数此次没有能排成一列”，也并没有证明全体实数根本就不可能排成一列。它没有证明用其它方式、对应原则等是不是可以排出全部实数的问题。更何况其在对角线法的证明过程中无意中引入了“所列单值的全部实数，与每位多值的位数一一对应”这样的隐含假设。而实数不可数、可数的定义中，从来也没有这样的前提条件。在逻辑上，这属于“运用选言判断中的逻辑错误”，具体说就是“遗漏选言支造成的谬误”。从假言判断的角度看，康托对角线法的“证明过程”和“结论”，充其量只是一个“必要条件假言判断”，而不是所真正需要的一个“充分条件假言判断”。更不是“充分必要假言判断”了。也就是说，实数如果不可数，当然不可能在任何一次排列中排出，也自然包括康托对角线法证明过程这一次，但这并没有充分的根据说就此实数就不可数了。它说的或所谓“证明”的，仅仅是按康托对角线法的隐含假设，全部实数并没有被全部列出而已。但这可不是不可数。

总之，运用假言判断常见的逻辑谬误有： 强加条件关系的谬误。以及混淆条件关系的谬误。经常会混淆必要条件和充分必要条件的关系，因此构成谬误。

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