哥德尔定理【悖论本质与新解释】二 (6-2)

有人还说：“......我所同意的‘悖论’定义是：‘如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么，我们说这个理论包含一个悖论。’或者换一种更松散的说法：如果从看起来合理的前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称得出了悖论。这里的要点在于：推理的前提看似明显合理，推理过程看似合乎逻辑，推理的结果则是自相矛盾的命题或矛盾命题的等价式。”不能不说，这个定义其实也不行。什么叫“看上去是合理的”，究竟合不合理？定义中不应该出现这种模糊不清的描述词汇。是就是是，不是就是不是。而且在这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，不一定推出的就是悖论。下面的说法也一样，证明的互相矛盾的命题，不一定就是悖论。悖论是因果性的互推式的这个特殊的证明，而不是一般意义的证明。下面的“推理的前提看似明显合理”，也是语焉不详。按笔者定义，悖论的推理前提就是一个隐蔽的矛盾，这样就明确了。看似明显合理，其实就是隐蔽了不合理。而单纯表达了前者，给人的印象是还是合理的。“看似”，还“明显”，究竟明显不明显？看似明显还叫明显？既然已经明显了何来“看似”？“似”什么？“似明显”？明明是不太明显嘛！

顺便提下，单纯的自指并不构成悖论，比如定义 a = {a | a∈a }就不构成悖论。而单纯的自指否也未必就构成悖论，比如单纯的 a∉a、也不构成悖论。只有当将其定义成一个集合时，也就是a = {a |a∉a}它才是一个悖论。因为矛盾被隐藏在了a = {a }中了，它实际上就等价于a∈a与a∉a构成了矛盾。由于这个矛盾是隐蔽的，隐蔽在了集合的定义中了，因此是悖论。而a∈a ∧a∉a 或a∈a = a∉a或a∈a当且仅当 a∉a则就是一个赤裸裸的矛盾了。当然，a≠a也不构成悖论，它就是一个明显的矛盾。

二、悖论与反证法的区别所在和悖论的另一种等价的推导

反证法实际是： ┐a → ┐b∧b ( ┐b与b都为1的意义上，也就是推出了一个矛盾）→ （1→ 0）→ ┐┐a → a。也就是从 ┐a出发，推出了一个与a与┐a无关的矛盾，得到一个非真的（1→ 0）式子，从而否定前提 ┐a，得到a。

而悖论如果也看成是（套用反证法的作法）： ┐a → ┐a∧a → ┐┐a → a ，则不通了。因为 ┐a∧a 中的a，就是直接从前提┐a 推出的，再否定它为 ┐┐a 就没有道理了。

悖论的推理实际也可以是 ： ┐a → a → ┐a∧a ，因为a为从┐a直接推出的，它是在┐a成立的前提下才有的，所以可以视为是推出了一个包括前提假设的矛盾。这个悖论的推导似乎未见以往有人论述，这是因为它不太明显。人们只是注意于直观的悖论推导（简化）a → ┐a及┐a →a或更简化的a ↔┐a，实际上，它们都是等价的，可以互推的。

这样的一个揭示，在下面的哥德尔定理的悖论本质的分析中可以派上大用场。

三、哥德尔定理分析及其悖论本质：哥德尔定理悖论

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