数学与哲学进化单子论（一） (5-2)

布加耶夫对分析学的思想贡献正如数学家叶尔马科瓦所评价的: “布加耶夫关于无穷级数收敛性的研究是极其出色的数学研究工作，共轭级数定理是他研究工作的一个总开端，不仅可以得出无穷级数理论到目前为止提出的所有性质，而且还可以得到无穷多个其他性质。”[6]当然，需要指出的是布加耶夫当时在给出共轭级数定义为“同时收敛和发散”的级数时，不准确地表达了自己的想法，因为人们可能会认为，任何给定级数都可以同时收敛和发散，“和”一词最好用“或”代替。[7]

布加耶夫最大的数学贡献还是在数论领域，其中蕴含的数学思想对其哲学思想的形成有显著影 响。1865 年，在他被选为副教授时曾发表过题为 “数论概论”的演讲，演讲中他从对数论发展的简要历史回顾开始，对纯数学中数论的内容、地位和方法表达了自己的独到见解。他首次提出对数论这一数学分支的个人看法，即数论作为一种“不连续函数的理论”。他特别指出，在数论中就数值函数的本质而言，是没法用分析学中的通用方法进行理解的，尽管对某些类型的数值函数，我们可以给出通用的连续方法。关于数论的重要性，他认为“数论优于数学的所有部分，有利于培养人的理性并促进一个数学家独特的数学悟性。”[8]基于对数论中的运算和分析中微分、积分运算的类比，他还建立了数值微积分理论。[9]

布加耶夫的数值函数理论得到当时著名数学家的认同，在莫斯科数学学会珍藏的布加耶夫档案中，发现一封 1872 年 9 月 11 日数学家库默尔写给布加耶夫的信，这位德国科学院院士写道: “我对您的数值函数理论以及优美的证明非常感兴趣。”布加耶夫还把这种“算术化”思维运用到国际象棋计算中，他是位高超的国际象棋手，当时他经常表达这样的想法，即国际象棋的规则可以用数学计算来表述。他指出将“车”从零点移动到点 n 的不同方式（仅在移动顺序上不同的方法除外）的数量，由不定方程的正解数量来确定，而欧拉（L． Euler）公式给出一个快速解决不定方程正解个数问题的可能。[10]

可以说，布加耶夫对数论、数值函数研究所体现的深刻数学思想是他建立数学哲学最原始的思想基础，并与他引入的独创性术语———“算术化” （Аритмология）一词密切相关。这个词在布加耶夫的数学思想中有双重的特殊含义: 首先是相对于“分析学”中连续函数的一种关于“不连续”函数 （间断函数 ）的学说，他称之为“算术学” （Аритмологией）。其次是一种基于“不连续性”思想的哲学世界观，即“算术化”的世界观。[11] 19 世纪是数学分析建立起严密基础的伟大时代，不连续函数通常被数学家们认为是可怕而令人厌恶的，如法国数学家厄米特（C． Hermite）当时就称不连续函数为“怪物”，应该说布加耶夫能深刻认识“不连续函数”理论并进行“算术化”理解，在当时那个时代里是难能可贵的。

二、布加耶夫的“算术化”数学哲学

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