数学与哲学进化单子论（一） (5-3)

在 1869 年的演讲“数学作为科学和教学的工具”中，布加耶夫提出了一个特别论断，旨在解释从数学问题向哲学问题过渡的自然性和必然性。他将这种转变与数学所特有的严格演绎性联系起来，这种不断关注推理严格性和有效性的泛化趋势，不由自主地迫使数学家们转向对正确思维技术和方法的一般性研究。布加耶夫指出，关于知识的局限性、思维的性质以及可靠性的哲学任务同样出现在研究舞台上，而数学是哲学科学领域的第一步，数学能将外部（物理）世界和内部（道德）世界的科学联系起来。他认为“数学家通常是由自然科学家、 数学家和哲学家共同组成的，这是很自然的事情。他抱怨大学内部的教职部门给大家造成了一些不便，干扰了各个知识领域间的自由互动。”[12]所以他在 1894 年纪念莫斯科数学学会成立 25 周年的演讲中说: “数学家应该是文化水平很高的哲学家，而不只是有学识的会计和计算员。”[13]

1897 年于苏黎世举行的第一届国际数学家大会上，作为大会副主席之一的布加耶夫做了题为 “数学与哲学世界观”的报告，集中展现了他的数学哲学思想。[14]在这一报告中，布加耶夫认为哲学世界观要依赖于纯数学，真正的科学和哲学世界观本质上源于对数学的全面应用。科学的结论力求准 确性和确定性，这种准确性和确定性是通过应用数字和度量来实现的。科学一旦需要进行测量，数学就会有用武之地，这也决定了为什么数学对人类现代生活至关重要。数学是一门研究定量变化现象的科学，定量变化思想是数学的基本思想，变量可以独立变化，也可以根据其他量的变化而变化，分别称为自变量和因变量，二者之间的关系也可以叫函数。变量可以是连续的，也可以是不连续的。函数也可以分为连续的和不连续的，连续函数的理论 通常被称为“分析学”，不连续函数的理论被他称为 “算术学”。那么纯数学就可以分为两个大部分: 连续性理论和不连续性理论。布加耶夫认识到连续性是虚幻的，而现实是不连续的。在现实的科学问题中，不连续性比连续性要多样化得多，使用不连续性多种多样的形式将导致这样的必然事实，即算术化的科学问题通常比相应的分析问题要更复杂和更困难。

布加耶夫认为数学的基础是函数论，几何学和概率论则起次要作用，但都是构成科学世界观的基本要素。概率论在分析复杂现象，尤其是社会理论和社会现象时是非常必要的。俄罗斯数学史家德米多夫（С． Демидов）认为布加耶夫在 1897 年就能将概率论作为纯数学的组成部分非常不容易，因为 1900 年巴黎举行的第二次国际数学家大会上，数学家希尔伯特（D． Hilbert）著名的大会报告也只是将概率论作为第六个问题而列入物理学科。德米多夫认为布加耶夫关于数学哲学的研究工作有助于莫斯科大学建立真正的实变函数论学派，一是他充分考虑了数学的广阔哲学背景，二是他能从函数理论视角来理解数学，尤其是着重研究了不连续函数，三是他从概率论在社会科学中的应用视角，赋予概率论以重要的作用。布加耶夫的哲学引领在莫斯科数学家中创造了一种普遍对哲学感兴趣的学术氛围，他的学生叶戈罗夫等人也都对哲学非常感兴趣。他的数学哲学观点对莫斯科实变函数论学派的诞生产生了重要的奠基性影响。[15]

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