奇妙的数学猜想 (4-2)

潜在的分解算法

假如存在一个时间复杂度为O(n log n) 的快速素数生成算法 FJP(number) ，且可以百分之百确定生成的数字是素数，那么我们可以用以下方式破解RSA算法：

1. 快速生成大素数：利用 FJP 函数快速生成大素数。

2. 半素数分解：对于给定的 n ，我们可以在合理的时间内生成并测试所有可能的素数因子，直到找到 p 和 q 为止。

优化的Fermat分解法和 Pollard-Rho 算法

结合 Fermat 分解法和 Pollard-Rho 算法的思想，对大整数 n 进行质因数分解。

通过多种伪随机方法生成 a 和 b ，并尝试找到 n 的质因子。

下面是优化后的代码：

from math import gcd, isqrt

import random

def FJP(n):

# 假设存在的线性对数时间复杂度的确定性算法

pass

def is_square(n):

"""判断一个数是否为完全平方数"""

root = isqrt(n)

return root * root == n

def f(x, n):

"""Pollard-Rho 算法中的辅助函数"""

return (x * x + 1) % n

def FactorizeRSA(n, iterations=1000):

"""

结合 Fermat 分解法和 Pollard-Rho 算法的思想，对大整数 n 进行质因数分解。

通过多种伪随机方法生成 a 和 b，并尝试找到 n 的质因子。

- 选择一计算：gcd(abs(a - b), n)

- 选择二计算：gcd(a + b＞n ? (a + b) - n : a + b, n)

参数:

- n: 待分解的大整数

- iterations: 最大迭代次数，默认值为 1000

返回:

- (p, q): 如果成功，返回两个质因子 p 和 q

- None: 如果失败，返回 None

"""

if FJP(n):

return (n, 1) # n 本身是素数

a = isqrt(n)

if a * a＜n:

a += 1

p, q = 0, 0

while a＜n:

b2 = a * a - n

if is_square(b2):

b = isqrt(b2)

p = a + b

q = a - b

if p＞1 and p＜n and FJP(p) and n % p == 0:

q = n // p

if FJP(q):

return p, q

if q＞1 and q＜n and FJP(q) and n % q == 0:

p = n // q

if FJP(p):

return p, q

if (p＜n // 4 or p＞3 * n // 4) and (q＜n // 4 or q＞3 * n // 4):

a += 1

else:

for _ in range(iterations):

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