Rudin工具箱与极分解技巧 (2-1)

目录

前置定理 ▹

预备知识：复数的极分解 ▹

1.9（e）：复可测函数的极分解 ▹

定理6.12：复测度的极分解 ▹

应用 ▹

定理1.33：积分的绝对值不等式 ▹

定理1.39（c）：积分的绝对值不等式的取等条件 ▹

定理6.13：绝对连续测度的全变差的Radon-Nikodym导数 ▹

定理6.14：Hahn分解定理 ▹

Rudin书中极其频繁地使用“极分解”技巧。尽管他在书中用此术语有具体所指，笔者仍然坚持用它指代更为广泛的一类技巧。它有函数的版本，也有测度的版本，主要的精神都是一样的：把一个东西的“正的”部分留下，把一个“数”甩出来，两部分分离以分别操作。

前置定理

“极分解”技巧有函数的版本，也有测度的版本。我们先说函数的版本，从函数的版本中获得灵感，以更好地理解测度的版本。

预备知识：复数的极分解

对于复数 z ∈ ℂ ，存在 α ∈ ℂ， |α|＝1 ，使得 z|α| .

由于这个结论太简单，我们一般都显式地写出α＝eⁱθ 来，其中 θ＝Arg z 称为辐角。

1.9（e)：复可测函数的极分解

Rudin在1.9节的断言（e）处给出了复可测函数的一个分解：

若 f 为 X 上的复可测函数，则存在 X 上的复可测函数 α ，使得 |α|＝1 ，且 f＝α|f| .

显然，要选取也只能选取

f

α＝─

|f|

，只要说明它是可测的就可以了。需要注意的是 E＝f⁻¹(0) 中的那些点。利用连续函数复合可测函数可测，研究 ℂ\{0} 上的连续函数

z

φ(z)＝─ 。

|z|

为了规避困难，令

α(x)＝φ(f(x)＋χᴇ(x))

α 与 φ 的不同就在于在 f＝0 处（也就是 E 上）取到 α＝1 。可以验证α 可测且满足要求。

定理6.12：复测度的极分解

设μ 是 X 的 σ– 代数 𝕸 上的复测度，则存在一个可测函数 h ，使得 |h|＝1 对所有的 x ∈ X 成立，并且 dμ＝hd|μ| .

容易看出h 的存在性，这由Lebesgue-Radon-Nikodym定理（定理6.10）保证。平均值技法（定理1.40）指出 |h| ≤ 1，α. e. 。取 Aᵣ＝{|h(x)|＜r} ，考虑它的一个划分并结合 h 的定义做估计可以得到 |μ|(Aᵣ)＝0 ，从而 h| ≥ 1，α. e. ，由是知 |h|＝1，α. e. ，在零测集上重新定义 h 不影响上面任何步骤。

应用

定理1.33：积分的绝对值不等式

若f∈L¹(μ) ，则 |∫xfdμ| ≤ ∫x|f|dμ

为证明此式，令z＝∫xfdμ ，它是一个复数，从而可以作极分解 z＝α|z| 。立即有：

|∫xfdμ|＝|z|＝α⁻¹z＝α⁻¹ ∫xfdμ＝∫xα⁻¹fdμ

仔细观察这奇妙的步骤。我们通过极分解把 z 从绝对值符号 | · | 中“解放了出来”，宛如“极限脱出”。而后，把 z 还回积分的形式，这时就可以利用积分的线性性把单独的常数 α⁻¹ 再“塞进积分号”！

现在，注意到∫xα⁻¹fdμ 是非负实数，而复函数积分相当于实部虚部分别积分，则其积分值正如复函数 α⁻¹f 的实部 u＝Re(α⁻¹f) 单独积分，即有

fxα⁻¹fdμ＝∫xudμ

而 u 的实部满足下面的估计式

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