Rudin工具箱与极分解技巧 (2-2)

u＝Re(α⁻¹f) ≤ |α⁻¹f|＝|f|

代入即得到结论。

定理1.39（c）：积分的绝对值不等式的取等条件

上面的定理有一个取等条件。

设f∈L¹(μ) ，若|∫xfdμ|＝∫x|f|dμ

则存在常数 α 使得 αf＝|f|，α. e.

考察定理1.33的证明，下面的不等号要取等：∫xudμ ≤ ∫x|f|dμ ，即是说 |f|＝u，α. e. ，即 Re(α⁻¹f)＝|α⁻¹f|，α. e. ，从而 f＝α|f|，α. e. 。

定理6.13：绝对连续测度的全变差的Radon-Nikodym导数

设μ 是 𝕸 上的正测度， g∈L¹(μ) ，且 λ(E)＝∫ᴇgdμ ，则 |λ|(E)＝∫ᴇ|g|dμ .

这种与绝对值和积分号的转圈圈有关系的命题便是极分解技巧的用武之地。对|λ| 极分解得到 dλ＝hd|λ| ，其中 |h|＝1 处处成立，由 dλ＝gdμ 代换知 hd|λ|＝gdμ ，两边乘 ˉh 得 d|λ|＝ˉhgdμ 。只需要断言

ˉhg＝|g|，α. e.[μ]

而这只要注意到ˉhg 是非负实数。

定理6.14：Hahn分解定理

需要特别强调，只有实测度才有通常意义上的Hahn分解定理，其原因将在下文的证明中看出。

设μ 是 X 的 σ– 代数 𝕸 上的实测度，则有 A，B ∈ 𝕸 ，使得 A∪B＝X ， A∩B＝∅ ，并且使 μ 的正变差 μ⁺ 和负变差 μ⁻ 满足

μ⁺(E)＝μ(A∩E)，μ⁻(E)＝μ(B∩E)

Rudin在书中是这样描述这个定理的：

换句话说，X 是两个不相交可测集 A 和 B 的并，使得“ A 携带 μ 的全部正质量”，并且“ B 携带 μ 的全部负质量”.这对 (A，B) 称为由 μ 所诱导的 X 的Hahn分解.

证明的方法依然是做极分解。取 dμ＝hd|μ| ，但是这里我要说道说道。之所以限制 μ 是实测度，就是因为它逼迫得 |h|＝1 只能取两个值： h＝1 或 h＝–1 。这是一个天然的二择！根据 h 的取值把 X 划分成两部分：

A＝h⁻¹(1)，B＝h⁻¹(–1)

再定义 μ(E∩A) ， μ(E∩B) ，利用

1 1

μ⁺＝ ─(|μ|＋μ)，μ⁻＝─(|μ| – μ)

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立即可得结果。

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