【陶哲轩实分析】 (4-3)

通常的教科书一般不会这么不厌其烦地论证每一个基础概念，所以Tao的这本实分析确实让我大开眼界。虽然读起来稍微有一点绕，但是概念和定理的讲解确实非常清晰明了，不给模糊和歧义性留下任何余地。

另外，这本书是Tao的讲义整理而成，所以语言也很平易近人，没有枯燥严厉之感，几乎都是循循善诱，有些地方还会用打比方，比如第6章讲解上/下确界（P108）和上/下极限（P114）就用活塞模拟来打比方，形象生动便于理解。

实用主义

哥德尔不完备定理告诉我们，对于任何稍微复杂一点的系统（只要包含一阶逻辑谓词），一致性和完备性都是不可兼得的。因此，数学本身也不可能是一致且完备的，也会存在许多模棱两可具有争议的地方。对于这种情况，Tao会很明智地绕过去而不纠结。比如广义实数系因为引入+∞和-∞会破坏熟悉的代数法则，于是Tao就简单地不去定义广义实数系的任何算术运算，除了负运算和序。（P107）

对于选择公理的使用方式，最能看出Tao作为一名数学家的实用主义态度。众所周知，选择公理（公理8.1）为分析理论的发展带来了方便，但也推导出许多非直观的结论（比如巴拿赫-塔斯基悖论）。哥德尔证明了选择公理是不可判定的，即如果集合论的其他公理是一致的，则选择公理既不能被这些公理证明，也不能被否定。这意味着一个结论只要能够被选择公理所证明，那么不使用选择公理也可以证明它，只不过论证过程可能会比较复杂冗长。因此，Tao建议把选择公理看作分析理论中一个方便、安全且节省劳动力的工具，而把选择公理的争议悬置起来不予讨论，因为那是哲学家关注的事情。（P161-162）

序列收敛与紧致性定理

我比较感兴趣那些序列收敛和紧致性相关的定理，比如：所有收敛序列都是有界的，反之则未必，有界序列不一定收敛，但是单调有界序列必收敛。

波尔查诺-魏尔施特拉斯(Bolzano-Weierstrass)定理：每一个有界序列都有一个收敛的子序列。

还有海涅-博雷尔(Heine-Borel)定理：设A是欧几里得空间Rₙ的子集，则A是紧的等价于A有界且闭。这个定理对于更一般的度量不一定成立，比如具有离散度量的整数集Z是一个有界闭集（实际上它是完备的），但不是紧致的，因为1,2,3,…是Z中的序列，但它却没有收敛的子序列。如果把闭性换成更强的完备性，并把有界性换成更强的完全有界性，那么修改后的海涅-博雷尔定理就是成立的。（P268）

当然，我们还可以用拓扑学的语言来刻画紧致性：紧致集合的每一个开覆盖都有一个有限的子覆盖。这被称为有限覆盖定理，也是海涅-博雷尔定理的更一般化的表述形式。

海涅-博雷尔定理的历史可以追溯到19世纪对实分析坚实基础的探索。这个定理与一致连续的概念紧密相关，并且首次由狄利克雷等人证明。它在数学分析、点集拓扑、度量空间理论等多个领域中有着广泛的应用。

前面定理中提到了一位德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897），他有一句名言流传甚广，也经常被误认为是他的俄国女弟子柯瓦列夫斯卡娅（Sofya Kovalevskaya，1850-1891）的话：“没有诗人的灵魂就不能成为一名真正的数学家。”

即便不是真正的数学家，也不妨写几句诗以抒心志，就当是学习路上与大家一起吟啸且徐行，烟雨任平生吧！

生而有界

必当收敛

天涯寥廓

何处吾乡

柯西序列

完备空间

上下确界

度量四方

导数积分

左右极限

函数零点

皆可分析

选择公理

不可判定

连续统设

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