数学联邦政治世界观
超小超大

Chevalley-Warning定理。 (2-2)

通过将xᵢq 换成 xᵢ ,我们可以降低单项式的次数,但不改变这单项式在 𝔽ⁿq 上的取值。通过这种方式,我们可以将一个多项式 P 约化为 ∼P 。从这就能看出,约化多项式的次数一定不超过原来多项式的次数。

证明2:James Ax

这里再给一种James Ax的证明。

引理:取遍有限域求和

• (引理)设 α₁,· · ·,αₙ 为非负整数。

(1)若对 1 ≤ i ≤ n , αᵢ 是 q – 1 的正倍数,

则 ∑ x₁α₁ · · · xₙαₙ=(–1)ⁿ 。

(2)在其他情况,我们有

∑ x₁α₁ · · · xₙαₙ=0。

x∈𝔽ⁿq

估计和式

Ax注意到

玄彬冥: mod p=∑ 1ᴢ(x)

x∈𝔽ⁿq

r

注意1ᴢ=∏(1 – fᵢq⁻¹);

i=1

由刚刚证明的引理,注意到这多项式的次数不超过 (q – 1)n ,故它的每个单项式的次数不超过 (q – 1)n,更不可能做到每个 αᵢ 都是 q – 1 的正倍数!这就做完了。

定理应用

Chevalley-Warning定理有一个直接的推论:

• (推论)设 P(x) ∈ 𝔽[x¹,· · ·,xₙ] 是一有限域 𝔽 上 n 元 d 次齐次多项式。若 n>d ,则存在非零根。

这推论有很重要的应用,有时也把它合起来称为Chevalley-Warning定理。

• 三元二次型在有限域上有非平凡解。

这是上面推论的直接推论。

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