Chevalley-Warning定理。 (2-2)

通过将xᵢq 换成 xᵢ ，我们可以降低单项式的次数，但不改变这单项式在 𝔽ⁿq 上的取值。通过这种方式，我们可以将一个多项式 P 约化为 ∼P 。从这就能看出，约化多项式的次数一定不超过原来多项式的次数。

证明2：James Ax

这里再给一种James Ax的证明。

引理：取遍有限域求和

• （引理）设 α₁，· · ·，αₙ 为非负整数。

（1）若对 1 ≤ i ≤ n ， αᵢ 是 q – 1 的正倍数，

则 ∑ x₁α₁ · · · xₙαₙ＝(–1)ⁿ 。

（2）在其他情况，我们有

∑ x₁α₁ · · · xₙαₙ＝0。

x∈𝔽ⁿq

估计和式

Ax注意到

玄彬冥： mod p＝∑ 1ᴢ(x)

x∈𝔽ⁿq

r

注意1ᴢ＝∏(1 – fᵢq⁻¹)；

i＝1

由刚刚证明的引理，注意到这多项式的次数不超过 (q – 1)n ，故它的每个单项式的次数不超过 (q – 1)n，更不可能做到每个 αᵢ 都是 q – 1 的正倍数！这就做完了。

定理应用

Chevalley-Warning定理有一个直接的推论：

• （推论）设 P(x) ∈ 𝔽[x¹，· · ·，xₙ] 是一有限域 𝔽 上 n 元 d 次齐次多项式。若 n＞d ，则存在非零根。

这推论有很重要的应用，有时也把它合起来称为Chevalley-Warning定理。

• 三元二次型在有限域上有非平凡解。

这是上面推论的直接推论。

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