逻辑学对语义学的影响（三） (4-3)

在这一意义上，否定算子的类型就是＜t，t＞，即从真值到真值的函数，它将1映射到0，将0映射到1。二元的连接词那么就是＜t，＜t，t＞＞类型的。一阶逻辑的量化词（如存在量化词something）实际上就是二阶谓词，将它看作函数，它的论元就是一阶谓词。比如something smokes，就是将something这个函数应用于smokes这个一元谓词，这句话为真，当且仅当smokes对应的集合不为空集。因此，这个存在量化词的类型就是＜＜e，t＞，t＞。

但是，如果量化词出现在二元谓词的宾语位置，问题就出现了，二元谓词类型为＜e，＜e，t＞＞，需要e类型的论元，量化词类型为＜＜e，t＞，t＞，需要＜e，t＞类型的论元：二者谁也不能成为谁的论元。比如这样一句话：

Everybody loves someone.

loves和someone是怎样组合的？这就需要扩展理论，引入一个兰姆达算子（lambda-operator，用希腊字母λ表示），它是从Church（1936）发展的兰姆达演算借过来的。它的原理是，假设P这个表达的类型是t，x是一个类型为e的变量，那么λx[P] 的类型就是＜e，t＞，也即一个一元谓词的类型，它输入一个类型为e的表达，得到一个类型为t的表达。

例如，love是一个二元谓词，love(x,y)就是一个类型为t的表达，其中包含x和y两个类型为e的变量，x是love的宾语，y是love的主语，这时我们用兰姆达算子把其中的宾语x“抽象”出来，变成λx[loυe(x，y)] ，这就是一个类型为＜e。t＞的表达了，通俗来说它代表的就是“y loves —”这样一个宾语被“抽走”的表达，它是未饱和的函数。这时，这个＜e，t＞类型的表达正好就可以成为something的论元了，它需要的正是＜e，t＞。所以我们把这个表达作为something的论元，就得到 something(λx[loυe(x，y)]) 这样一个类型为t的表达。同样，为了和主语位置同样为＜＜e，t＞，t＞类型的everybody组合，我们再抽象一次，得到类型为＜e，t＞的 λy[something(λx[loυe(x，y)])] ，最后就有类型为t的句子

eυerybody(λy[something(λx[loυe(x，y)])])

对于x[P] 这样一个类型为＜e，t＞的表达来说，它的语义就是一个特征函数（characteristic function），如果输入使P为真的论元，它就输出“真”，如果输入其他则输出“假”。在这样一个语义系统里，我们能够得到下面的几条逻辑等价式：

λx[P] ≡ λy[P[y/x]]

这条称为α – conυersion，其中P[y/x]和P除了其中所有自由出现的x被替换为y之外，其他都相同。这条等价式用来给变量重新命名。

λx[P](α) ≡ P[α/x]

这条称为β – reduction ，其中P[a/x]和P除了其中所有出现的x被替换为a之外，其他都相同。需要特别注意的是，这条等价式在一些非外延语境下式失效的，特别当a不是一个严格指称者（rigid designator）。例如，我们把这个句子视为P：

Ralph believes that x is a spy.

那么这个句子的涉实解读就是λx[P] (α)，a被解读于非外延语境之外，它实际上的指称就被视作其外延。但 P[α/x] 则对应句子的涉名解读，因为a被解读于信念语境之中了。最后还有一条等价式，称为 η – conυersion ，其中，x不是P中的一个自由变量：

λx[P(x)] ≡ P

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