反证法 (2-2)

第三步：假设对立命题《A不是A》为正确的的条件下，推出与事实不符（在数学中如推出和公理不符、定义不符、某个定理不符等），即推出矛盾了，也就是对立命题假设是正确的的这个假设不成立，即对立命题为假。

第四步：由于原命题和对立命题是排中的，也就是：若对立命题是假的，则原命题为真。

三、例子

证明 √2 是一个无理数‬

第一步：写出原命题的的对立命题

即：√2 不是一个无理数

分析：在实数中，只存在两种数，要么是无理数、要么是有理数

所以：√2 不是一个无理数 等价于 √2 是一个有理数

第二步：假设对立命题是正确的

即：假设√2 是一个有理数为真

第三步：假设对立命题正确的的条件下，推出与事实不符的矛盾

有理数的性质：任意一个有理数都可以表示为两个互质整数的比值

而：两个互质整数的公约数只为1

p

也就是：有理数＝─ ， 备注（p、q为整数、且q不为零） q

p

即：√2＝─

q

p²

对等式两边平方：2＝─

q²

移项：2q²＝p²

因为只有偶数的平方才是偶数，所以： p² 是一个偶数

因此 p 也一个偶数，因为 p 是一个偶数，所以可以被2整除

那么设： p＝2α ，备注（a为一个整数）

于是有： p²＝4α²

代入后得： 2q²＝4α²

化简得： q²＝2α²

同理，这说明： q 也是个偶数，而两个偶数的公约数不为1

所以矛盾点是：这与 p 和 q 是两个互质整数的公约数只为1不符

也就是： √2 是一个有理数这个命题（假设）是错的

第四步：若对立命题是假的，则原命题为真

因为：√2 是一个有理数这个命题是错的（为假）

所以：√2 是一个无理数是对的（为真）

证毕。

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