乘法子集 (2-1)

代数数论是以剩余类环为基础的环理论，是一种具体的环论，按照抽象的方式学习，很难理解各种概念的含义，结果越是学习越是迷惑，好像就知道了些名词，不知道怎么用。那么这一次就通过例子来学习。

首先是乘法子集的概念，他的定义是环R 中的乘法封闭集 x，y ∈ A ⇒ xy ∈ A 而且假定 0 ∉ A ，通常考虑交换环。实际上看到这个概念就应该意识到他是一种类似于理想的结构。

考虑基本的例子，剩余类环

0，1 → 1＝1²＝1ⁿ

0，1，2 → 1＝1ⁿ，2，2²＝1，2³＝2，2²ⁿ＝1，2²ⁿ⁺¹＝2

0，1，2，3 → 1＝1ⁿ，3，3²＝1，3³＝3，3²ⁿ＝1，3²ⁿ⁺¹＝3

可以发现乘法子集包含的元素为单个元素自身，以及这个元素的幂，还有多个元素的积。

所以乘法子集可以看作特定元素通过乘积结构生成的集合，也就是一种生成式的定义，就像开集一样，确定生成子，通过集合运算生成开集。如果熟悉Fσ，Gσ 的构造方式，就知道集合通过集合运输扩张可以构成一种生成序列，建立层垒结构。

这里是通过乘积元素生成。由此，也可以建立层垒结构。所以，环与集合具有相似之处。

那么对于任意的剩余类环，他的乘积子集就是

{α，αⁿ，b，bⁿ，. . .，αb，αᵐbⁿ，. . .}

这就是他的生成结构，自然的，我们可以定义这种结构为一种运算，即理想的乘积，这里是乘法子集的乘积。

由此，或许就能明白为什么理想的运算和通常的运算如此不同，因为理想是一种乘法生成结构，他和加法生成是不一样的。尤其是对于数环而言，乘法的生成结构必然与素数有关。

实际上对于有限域而言，当我们从一个素数出发，不断自乘积，总能获得所有元素。这就是乘法性质上的差异。

定义点‬

(x，y)＝(α，3α mod 5)

于是获得

(1，3)＝(1，3¹ mod 5)

(2，4)＝(2，3² mod 5)

(3，2)＝(3，3³ mod 5)

通过程序计算并绘图

(2，4) (1，3) (3，2) (5，3) (4，1)

(α mod(bα，5))

α＝[1，2，3，4，5]

b＝3

1 ≤b≤5 步长：1

通过这个代码可以获得元素幂的规律，上图给出的是3ⁿ mod 5

由此可以直接探索单元素生成乘法子集的性质。这就是数论的例子。其中αᵖ＝α mod p

(α mod(bα，c))

α＝[1，2，. . .，c]

b＝1

c＝11

改进了一下，用这个代码更高效，只需要调整参数c的值就行了，代表了剩余类环的性质。

效果相当不错，其实制作为视频比较好，简单看几张图

1ⁿ

2ⁿ

3ⁿ

4ⁿ

5ⁿ

可以明显的看到周期性，这种周期性就是数论规律αᵏ mod n

所以数论的复杂性就在于这些周期性的图上面，多种周期的叠加会导致非常复杂的规律，这些周期本身与素数有关，素数的规律性极差，超乎人们的理解，所以数论规律也是超出人们的理解的。只能通过计算来把握。

只不过，上面体现的是幂的规律，乘积的规律没有包含其中。可以考虑把两个生成子绘制在一幅图上，获得多生成子情形。

(α，mod(bα，c))

α＝[1，2，. . .，2c]

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