同余理论 (3-1)

在学习数论时，同余理论是绕不开的一环，但是，一个显著的问题就是同余问题非常复杂，多项式的同余方程解的数量远比多项式代数方程多，这种解的多样性导致了，对于一个一般的同余方程，根本就没有简单的方法获得所有的解。

f ≡ 0 mod α

f＝0 ⇔ f ≡ 0 mod α

实际上，代数方程可以看作是模零同余方程，由此我们可以将方程转化为代数方程

f＝kα

f＝k0＝0

可以发现，同余方程的实质是多项式的乘积分解。由此我们可以直接构建一般同余理论，或者说抽象同余理论。

抽象同余理论

【以下会直接使用深奥的数学概念，最好关注于模式，而不是具体的术语，如此才有可能体会到一些实质内容】

对任意结构的乘积分解获得的理论就是同余理论。

F＝A · B

F ≡ 0 mod B

F ≡ 0 mod A

F＝A · B＋C

F ≡ C mod A，B

那么实际上同余理论是数学对象乘积结构的反结构。

也就是说，给定一个任意的数学对象空间，在其上定义乘法运算，由此获得乘积空间，考虑乘积空间上的方程或者曲面就可以获得满足方程的解，或者落在曲面上的点，这些解和点就是同余方程的解。

实际上意味着对于任意数学对象而言，只要存在乘积结构，就必然可以诱导同余理论，就像代数结构中，出现了乘法，就可以考虑乘法逆元一样。

同余理论与代数结构的差异在于，同余理论允许复杂的代数结构，也就是说运算不局限于乘法一种，可以包括加法，乘法，指数，对数，三角，任意算子，他们的综合运算构成的运算闭包就是方程，考虑这个方程的乘积分解性质就是同余理论。

也就是说

Alg[A，＋，·，exp，ln，cos，sin，S[–]]＝BC

左边指的是集合在任意多种代数运算下的运算闭包，右边则是集合中的元素乘积。

这让我想起来了泛代数理论中的同余与商代数。实际上，他建立起了商代数结构，也就是将运算定义在同余类上，或者说等价类上。

由此，我大概明白了泛代数在研究什么问题了，他研究的是各种代数构造的最一般推广形式，这些推广形式定义在极为基础的数学结构上，比如集合，幂集，偏序集，格上，因此，通常而言，泛代数是无法学习的，因为他所考虑的对象太过基本了，单纯学习理论没有任何意义，需要考察所有的经典代数结构，获得基本模式后，感到疑惑，由此询问模式本身的含义，才有学习的动机。

这就像过去，考虑范畴，对于乘法感到疑惑，由此深入半群，考察分析，对拓扑和序产生疑问，由此深入偏序集与格，考察环论与理想论，对于集合代数感到疑惑，由此深入幂集上的运算结构。具体理论是通往抽象理论的台阶。

由此，代数结构论可以看作是范畴论，而代数运算论就可以看作泛代数，代数模式论就是直觉模式，代数几何论就是图表示与动力系统，代数变换论为抽象群论。把这些具体领域一一搞清楚后，就能建立起来代数学的大统一理论。

有趣的设想。

具体同余理论

上面探讨了抽象同余理论的代数基础，商，等价类，乘积分解。下面考虑具体同余理论遇见的困难。

同余理论实际上为乘积分解，所以我们就需要考虑什么时候可分解，什么时候不可分解，假如可分解，意味着什么样的条件，假如不可分解，是什么导致了不可分解性？

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