戴德金原理 (2-2)

也必然是有理数并且c一定介于a和b之间。

现在对有理数集Q任意作一个戴德金分割(S,T)，此时可能会出现以下3种情况。

（1）S中有最大值，而T中无最小值。例如S＝{x|x ≤ 2}，T＝{x|x＞2}

（2）S中无最大值，而T中有最小值。例如S＝{x|x＜2}，T＝{x|x ≥ 2}

（3）S中无最大值，且T中无最小值。例如S＝{x|x＜0}∪{x|x²＜2}，T＝{x|x＞0}

不存在（4）S中有最大值，且T中有最小值。这是因为如果设S中的最大值为a，T中的最小值为b，根据引理，它们的算术平均数c也是有理数且a＜c＜b。但因为a是S中的最大值，所以c不在S中。而b是T中的最小值，所以c也不在T中。这就导致了有理数c不属于S和T的任意一个集合，与戴德金分割要求S∪T=全集Q矛盾。

对于情况（1）和（2）戴德金称该分割确定了一个有理数，或者把这样的分割叫做一个有理数。对于（3），戴德金称该分割确定了一个无理数，或者把这样的分割叫做一个无理数。有理数和无理数统称为实数，记做R，因此每个实数就是一个对有理数集Q的分割。

在这样的定义下可以给出实数相等的定义以及大小的比较。

相等：设实数a、b是两个戴德金分割(S,T)、(S',T')。若集合S=S'（此时必有T=T'），则称a=b。

大小比较：若集合S⫋S'，则称a

也就是说，要证明两个实数相等，只需要证明分割所得到的S和S'相等。

戴德金定理

实数集R的任一戴德金分割(S，T)，都唯一地确定一个实数α(称为中介数或中介点)，它或者是S的最大数(此时T中无最小数)，或者是T的最小数(此时S中无最大数)。

参考资料

[1] 《数学辞海》编辑委员会．数学辞海·第一卷．北京：中国科学技术出版社，2002：第484页

[2] 杨守廉主编．数学分析 下．北京师范学院出版社，1988.03：第377页

[3] 泰安师专等五校编. 高等几何[M]. 1986（仅支持电脑查看）

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