实数八大定理的等价性证明 (3-3)

并且 n₁＜n₂＜n₃＜ · · · nₖ＜· · ·，δₖ → 0，从而存在收敛子列。

Bolzano - Weierstrass定理⇒Cauchy收敛原理

必要性显然，下证充分性。

设{xₙ} 是柯西数列，显然柯西数列都是有界数列，从中选出收敛的子列 {xₙₖ} 收敛于 l ，

于是∃K ∈ ℕ 当 k＞K 时，

ε

[xₙₖ – l]＜─

2

∃N ∈ ℕ，当 n＞N 且nₖ＞N 时，

ε

[xₙₖ – xₙ]＜─

2

于是 [xₙ – l]＜ε

注意：一个细节，须先假定阿基米德性质才能得出∀ε＞0，nε→∞

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