Dedekind分割及Dedekind定理 (2-2)

令y＝x₀.x₁x₂x₃. . .xₖc，此时 x＜y＜√2，且 y ∈ Q

Dedekind定理

定理内容

定理：实数域R 上的任一Dedekind分割的上集均有最小元素。

即对于R 上的任一分割A|B ，集合 B 均有最小元素。

定理证明

做Dedekind分割A|B

（不严格证明，有点循环论证的感觉）设A B被点 x＝x₀ 分割开， A＝{x|x＜x₀，x ∈ R}，B＝{x|x ≥ x₀，x ∈ R}

考虑点x＝x₀ 是否在集合 B 中。

由于R＝Q∪R\Q，Q∩R\Q＝ф

所以x₀ ∈ B ，所以 B 中有最小元素。

严格证明请参考

Rudin《数学分析》，Ayumu《数学分析》等教材。

参考资料

din《数学分析》

2.Ayumu《数学分析》

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