Hankins模型构造 (2-2)

∀A[A is a countable ω-model of KP＋s → A╞ c(m)＝n]

于是 α 就是 Π¹₁ 的，从而也是 Δ¹₁ 的，这与 α 不是 Δ¹₁ 的矛盾。

上面给出的稠密集都是可数的，所以一个脱殊的f∈Sω 总是存在。令 T 为 f 的值域。对每个 c，d ∈ C 定义关系 c ∼ d 当且仅当 ⌜c＝d⌝ ∈ T。利用稠密性可以证明关系 ∼ 是一个C上的等价关系。最后，我们构造的模型 (M，E) 的论域 M＝C/∼ ，即C在关系 ∼ 下的等价类；而关系 E 定义为： [c]E[d] ⇔ ⌜c∈d⌝ ∈ T

于是模型构建完毕。实际上，我们可以对表达式进行归纳，证明 (M，E)╞ φ[[c₁]，· · ·，[cₙ]] ⇔ ⌜φ(c₁，· · ·，cₙ)⌝ ∈ T

于是就能很容易从稠密性验证 (M，E) 是一个 ω-模型，而且不包含实数 α 。

如果我们希望所构造的模型保证某个可数序数α＜ω₁ 在标准部分中。我们可以考虑语言 Ըα 为集合论语言上添加上可数个常元 {ˉβ：β＜α} ，形成的逻辑称为 ϵα-逻辑。一个 ϵα-模型是指一个 Ըα 的模型 A ，使得对每个 β＜α ，如果 A╞ x ∈ ˉβ ，则 ∃γ＜β(A╞ x＝ˉγ) 。

可以预见，要实现要求，我们需要在上面列出的稠密集1-3之上在加上一列稠密集：

5. 对每个β＜α 和 c ∈ C ，定义

Wᵦ，c＝{s ∈ Con：⌜c ∈ ˉβ⌝ ∉ s∨∃γ＜β(⌜c＝ˉγ⌝ ∈ s)}

当然如果要构造一个KP的 ϵα-模型，需要 α 是admissible序数。其证明还需要一些工作，这里不再给出。

参考

1. Jon Barwise , Admissible Sets and Structures_ An Approach to Definability Theory

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