SEP：阿尔希塔斯（二） (6-6)

关于提洛岛人的故事是否有事实依据，目前还不清楚。即使有，也不应该理解为，立方体倍积问题是 4 世纪才由提洛岛人提出的。我们被告知，活跃于公元前 5 世纪下半叶的数学家希俄斯岛的希波克拉底，已经遇到了这个问题，并把它简化为一个稍微不同的问题（欧托基乌斯，《阿基米德球体与圆柱体》第二卷 [III 88.3-96.27 Heiberg/Stamatis]）。希波克拉底认识到，如果我们能在原始立方体的边长 G 和长度 D 之间找到两个比例中项，其中 D = 2G，使得 G : x :: x : y :: y : D，那么以长度 x 为边的立方体的体积将是以长度 G 为边的立方体的两倍。希波克拉底究竟是如何认识到这一点的，我们只能猜测，这里不必赘述，但他确实是正确的，这一点相对容易看出。连续比例 G : x :: x : y :: y : D 中的每个值都等于 G : x，所以我们可以把它们都设为等于 G : x。如果我们这样做，并将这三个比率相乘，我们就会得到值 G 的 3 次方 : x 的 3 次方。另一方面，如果我们取相同的连续比例，并用原始项进行乘法运算，那么 G : x 乘以 x : y 得到 G : y，而 G : y 乘以剩下的项得到 G : D。因此，G : D = G 的 3 次方 : x 的 3 次方，但 D 是 G 的两倍，所以 x 的 3 次方是 G 的 3 次方的两倍。请记住，G 是原始立方体的边长，所以体积是以 G 为边的立方体的两倍的立方体，将是以 x 为边的立方体。希腊人并不认为这个问题是一个代数问题，而是一个几何问题。在希波克拉底之后，立方体倍积问题总是被看作是找到两条线段的问题，这两条线段是 G（原始立方体的边长）和 D（长度是 G 的两倍的线段）之间的比例中项。阿尔希塔斯就是为这种形式的问题提供了第一个解法。

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